Property	BFS	Notes
Complete?	Yes	If b is finite
Time?	`O(b^d)`	Exponential in d
Space?	`O(b^d)`	Keeps ALL nodes in memory!
Optimal?	Yes	Only if all step costs = 1

الخاصية	BFS	ملاحظة
اكتمال؟	نعم	لو b محدودة
الزمن؟	`O(b^d)`	أسي في d
المساحة؟	`O(b^d)`	بيحتفظ بكل العقد في الذاكرة!
أمثل؟	نعم	بس لو تكلفة كل خطوة = ١

Property	UCS	Notes
Complete?	Yes	If g > ε
Time?	`O(b^C*/ε)`	All nodes with cost ≤ C*
Space?	`O(b^C*/ε)`	Same as time
Optimal?	Yes	Always finds cheapest path

الخاصية	UCS	ملاحظة
اكتمال؟	نعم	لو g > ε
الزمن؟	`O(b^C*/ε)`	كل العقد بتكلفة ≤ C*
المساحة؟	`O(b^C*/ε)`	نفس الزمن
أمثل؟	نعم	دايماً يلاقي أرخص مسار

	DFS	DLS (limit L)
Complete?	No	No (if d>L)
Time?	`O(b^m)`	`O(b^L)`
Space?	`O(b·m)` ✅	`O(b·L)` ✅
Optimal?	No	No

	DFS	DLS (حد L)
اكتمال؟	لا	لا (لو d>L)
الزمن؟	`O(b^m)`	`O(b^L)`
المساحة؟	`O(b·m)` ✅	`O(b·L)` ✅
أمثل؟	لا	لا

	IDS	BS
Complete?	Yes	Yes*
Time?	`O(b^d)`	`O(b^d/2)` ✅✅
Space?	`O(b·d)` ✅	`O(b^d/2)`
Optimal?	Yes*	Yes*

	IDS	BS
اكتمال؟	نعم	نعم*
الزمن؟	`O(b^d)`	`O(b^d/2)` ✅✅
المساحة؟	`O(b·d)` ✅	`O(b^d/2)`
أمثل؟	نعم*	نعم*

Algorithm	Complete?	Time	Space	Optimal?
BFS	Yes*	O(b^d)	O(b^d)	Yes*
UCS	Yes*	O(b^(C*/ε))	O(b^(C*/ε))	Yes
DFS	No	O(b^m)	O(b·m)	No
DLS	No	O(b^L)	O(b·L)	No
IDS	Yes*	O(b^d)	O(b·d)	Yes*
BS	Yes*	O(b^(d/2))	O(b^(d/2))	Yes*

الخوارزمية	اكتمال؟	الزمن	المساحة	أمثل؟
BFS	نعم*	O(b^d)	O(b^d)	نعم*
UCS	نعم*	O(b^(C*/ε))	O(b^(C*/ε))	نعم
DFS	لا	O(b^m)	O(b·m)	لا
DLS	لا	O(b^L)	O(b·L)	لا
IDS	نعم*	O(b^d)	O(b·d)	نعم*
BS	نعم*	O(b^(d/2))	O(b^(d/2))	نعم*

Algorithm	Strategy / الاستراتيجية	Data Structure	Complete?	Time	Space	Optimal?
BFS Breadth-First Search	مستوى بمستوى Level by Level	Queue (FIFO)	✓ Complete	O(b^d)	O(b^d)	✓ Optimal*
UCS Uniform Cost Search	أقل تكلفة تراكمية Min Cumulative Cost	Priority Queue (Min-Heap)	✓ Complete	O(b^{1+⌊C*/ε⌋})	O(b^{1+⌊C*/ε⌋})	✓ Optimal
DFS Depth-First Search	أعمق أولاً Deepest First	Stack (LIFO)	✗ Incomplete	O(b^m)	O(b·m) ✅	✗ Not Optimal
DLS Depth-Limited Search	DFS مع حد عمق L DFS with Depth Limit	Stack (LIFO)	~ Incomplete*	O(b^L)	O(b·L) ✅	✗ Not Optimal
IDS Iterative Deepening Search	DLS متكررة بزيادة العمق Repeated DLS L=0,1,2…	Stack (LIFO)	✓ Complete	O(b^d)	O(b·d) ✅	✓ Optimal* ✨
BS Bidirectional Search	BFS من البداية والهدف Simultaneous BFS	Queue × 2 (FIFO)	~ Conditional	O(b^d/2) ✅✅	O(b^d/2)	~ Conditional

Property	Greedy	Why?
Complete?	❌ No	Can get stuck in loops (Iași → Neamț → Iași...)
Time?	`O(b^m)`	Exponential; good heuristic helps a lot
Space?	`O(b^m)`	Keeps all nodes in memory
Optimal?	❌ No	Finds A solution, not the BEST one

الخاصية	Greedy	السبب
اكتمال؟	❌ لا	يمكن يعلق في حلقات (Iași ← Neamț ← Iași...)
الزمن؟	`O(b^m)`	أسي؛ الـ heuristic الجيدة تحسّن كثيراً
المساحة؟	`O(b^m)`	بيحتفظ بكل العقد في الذاكرة
أمثل؟	❌ لا	يلاقي حل، مش الأفضل

Property	A*	Notes
Complete?	✅ Yes	If h is finite everywhere
Time?	`Exponential`	Depends on heuristic quality
Space?	`O(b^d)`	Keeps all nodes in memory
Optimal?	✅ Yes*	Only if h(n) is admissible*

الخاصية	A*	ملاحظة
اكتمال؟	✅ نعم	لو h محدودة في كل مكان
الزمن؟	`أسي`	يعتمد على جودة الـ heuristic
المساحة؟	`O(b^d)`	بيحتفظ بكل العقد في الذاكرة
أمثل؟	✅ نعم*	بشرط أن h(n) تكون مقبولة*

Algorithm	f(n)	Complete?	Optimal?	Time	Space
BFS	`depth(n)`	✅	✅ (equal costs)	`O(b^d)`	`O(b^d)`
UCS	`g(n)`	✅	✅ Always	`O(b^C*/ε)`	`O(b^C*/ε)`
Greedy	`h(n)`	❌ No	❌ No	`O(b^m)`	`O(b^m)`
A*	`g(n)+h(n)`	✅ Yes	✅ If h admissible	`Exponential`	`O(b^d)`

Entity	Key Attributes	Relationship	Cardinality
STUDENT	Student_ID	TAKES → EXAM	M:N
EXAM	Exam_ID	BELONGS TO → COURSE	N:1
QUESTION	Q_ID	CONTAINS ← EXAM	1:N
RESULT	(Student_ID + Exam_ID)	GENERATES ← Student+Exam	M:N→1
COURSE	Course_ID	—	—

Participation	What to do?	Relationship Attributes
S: Total T: Total	Merge both tables into one	Add attributes to merged table
S: Partial T: Total	Add FK to T that refers to PK of S It can also become the PK of T	Add attributes to T
S: Partial T: Partial	Add FK to either one that refers to PK of the other	Add attributes to the table with the FK

Student	Age	Subject
Adam	20	Bio, Maths
Alex	21	Maths
Steuart	19	Maths

Student	Age	Subject
Adam	20	Bio
Adam	20	Maths
Alex	21	Maths
Steuart	19	Maths

Name	Class	Grade	Faculty
William	ML, Survey	A, B	ME, ME
Sarah	Stats, Maths	A, A+	ST, ST

StudentID	ClassID	Name	Grade	Faculty
001	ME314	William	A	ME
001	ME202	William	B	ME
002	ST001	Sarah	A	ST

student_id	course	score	instructor ⚠
S01	Math	95	Bob
S01	Econ	80	Anna
S02	Math	86	Bob

Student Id	Student Name	Subject Id	Subject ⚠	Address
1DT15ENG01	Alex	15CS11	SQL	Goa
1DT15ENG02	Barry	15CS13	JAVA	Bengaluru

Tw_ID (PK)	Date_Given	Fac_ID	Fac_Name	Sub_ID	Sub_Name	Class_ID	Class_Desc	Submi_Dt
101	12-7-2012	SN	Shefali Naik	FOP	Fundamentals of Programming	FY	First Year	31-7-2012
102	8-8-2012	SN	Shefali Naik	FOP	Fundamentals of Programming	FY	First Year	3-9-2012
105	2-7-2012	HD	Hemal Desai	AJ	Advanced Java	TY	Third Year	23-7-2012

Normal Form	Conditions	Problem Solved	بالعربي
1NF	Atomic values + PK + Row order irrelevant	Multi-valued attributes	قيمة واحدة في كل خانة + مفتاح أساسي
2NF	In 1NF + No partial dependency	Partial functional dependency	كل عمود بيعتمد على المفتاح الكامل
3NF	In 2NF + No transitive dependency	Transitive functional dependency	مفيش عمود يعتمد على عمود تاني غير أساسي

Student Id	Student Name	Subject Id	Subject ⚠	Address
1DT15ENG01	Alex	15CS11	SQL	Goa
1DT15ENG02	Barry	15CS13	JAVA	Bengaluru
1DT15ENG03	Clair	15CS12	C++	Delhi
1DT15ENG04	David	15CS13	JAVA	Kochi

Student	Major ⚠	Hobby ⚠
Sok	IT	Football
Sok	IT	Volleyball
Sao	IT	Football
Sao	Med	Football

Introduction to Java

IDE · Program Life Cycle · Symbols · Variables · Data Types · Access Modifiers

// Quick Summary — Lecture 1 · ملخص المحاضرة الأولى

IDE (Integrated Development Environment) — بيئة التطوير المتكاملة — تُساعد في تطوير Java. أمثلة: NetBeans, Eclipse, JDeveloper. المميزات: محرر ذكي، كشف أخطاء، تكامل كامل.

JDK = أدوات التطوير (javac, jheap...) · JRE = مكتبة Java · JVM = الآلة الافتراضية التي تُشغّل الـ bytecode — JVM (Java Virtual Machine) runs the compiled .class file

دورة حياة البرنامج — Program Life Cycle (6 مراحل): تعريف المشكلة ← تحليلها ← تطوير الخوارزمية ← الكتابة والتوثيق ← الاختبار ← الصيانة

الرموز الأساسية — Key Symbols: {} أقواس كود · () أقواس دالة · ; نهاية السطر · // تعليق سطر واحد · /* */ تعليق متعدد الأسطر

اسم الملف لازم يطابق اسم الكلاس العام تماماً — GFG.java للكلاس GFG — Source file name must match public class name exactly

Java حساسة للحروف — case-sensitive — System ≠ system. أسماء الكلاسات → PascalCase. المتغيرات → camelCase. الثوابت → ALL_UPPER.

public static void main(String[] args) هي نقطة البداية. void = لا تُرجع قيمة. static = لا تحتاج object. public = يمكن الوصول من أي مكان.

محددات الوصول — Access Modifiers: private (داخل الكلاس فقط) · protected (الباكدج + الـ subclass) · public (من أي مكان)

الأنواع الأصلية — Primitive types: byte(8b) · short(16b) · int(32b) · long(64b) · float(32b) · double(64b) · boolean · char(16b Unicode)

الأنواع غير الأصلية — Non-Primitive: String, Array وغيرها — بتتخزن كـ object reference مش كقيمة مباشرة

المُعرِّفات — Identifiers: تبدأ بحرف أو $ أو _ — لا تبدأ برقم — لا تستخدم reserved keywords مثل class أو int

byte: -128 إلى 127 · int: -2³¹ إلى 2³¹-1 · float: أعداد كسرية · double: أعداد كسرية دقيقة · char: '\u0000' إلى '\uffff'

🛠 IDE & Java Tools

IDE (Integrated Development Environment) is software that provides all tools needed to write, compile, and debug Java programs in one place. Popular Java IDEs: NetBeans, Eclipse, JDeveloper. Features include: smart code editor, syntax highlighting, auto-completion, error detection, and project management.

IDE (بيئة التطوير المتكاملة) هي برنامج بيجمع كل الأدوات اللي محتاجها لكتابة وتجميع وتصحيح برامج Java في مكان واحد. أشهر IDEs في Java هي: NetBeans وEclipse وJDeveloper. مميزاتها: محرر ذكي، تلوين الكود، إكمال تلقائي، كشف أخطاء، وإدارة مشاريع.

JDK (Java Development Kit): contains development tools like javac (compiler), jheap, jconsole. Used by developers to write and compile code.
JRE (Java Runtime Environment): contains the Java Class Library needed to run Java programs.
JVM (Java Virtual Machine): executes the compiled .class bytecode file on any platform.

JDK (مجموعة تطوير Java): بيحتوي على أدوات التطوير زي javac (المُجمِّع) وjheap وjconsole. بيستخدمه المطورين لكتابة وتجميع الكود.
JRE (بيئة تشغيل Java): بيحتوي على مكتبة Java اللازمة لتشغيل البرامج.
JVM (الآلة الافتراضية لـ Java): بتشغّل ملف .class (bytecode) على أي جهاز.

🔄 Program Development Life Cycle — دورة حياة البرنامج

Java programs go through 6 stages:
1️⃣ Problem Definition — understand what the problem is
2️⃣ Problem Analysis — study inputs, outputs, constraints
3️⃣ Algorithm Development — design the step-by-step solution
4️⃣ Coding & Documentation — write code + comments
5️⃣ Testing & Debugging — find and fix errors
6️⃣ Maintenance — update and improve after release

برامج Java بتمر بـ 6 مراحل:
1️⃣ تعريف المشكلة — افهم المشكلة كويس
2️⃣ تحليل المشكلة — ادرس المدخلات والمخرجات والقيود
3️⃣ تطوير الخوارزمية — صمّم الحل خطوة بخطوة
4️⃣ الكتابة والتوثيق — اكتب الكود مع التعليقات
5️⃣ الاختبار وإصلاح الأخطاء — دور على الأخطاء وصلحها
6️⃣ الصيانة — حدّث وحسّن بعد الإطلاق

{ } Java Program Structure — هيكل البرنامج

Key symbols:
{} curly braces — define the body of class, method, if, loop, etc.
() parentheses — method parameters and conditions
; semicolon — ends every statement
// single-line comment — compiler ignores this line
/* */ multi-line comment — everything between is ignored

الرموز الأساسية:
{} أقواس منحنية — بتحدد جسم الكلاس والدالة والـ if والحلقة
() أقواس عادية — بارامترات الدوال والشروط
; فاصلة منقوطة — بتنهي كل جملة
// تعليق سطر واحد — الـ compiler بيتجاهل السطر ده
/* */ تعليق متعدد الأسطر — كل اللي بين العلامتين بيتجاهل

public class HelloWorld { // اسم الكلاس = اسم الملف public static void main(String[] args) { // نقطة البداية System.out.println("Hello, World!"); // طباعة } // نهاية main } // نهاية الكلاس

The source file name must exactly match the public class name including uppercase/lowercase. If class is HelloWorld → file must be HelloWorld.java. After compiling: HelloWorld.class is created and run by JVM.

اسم ملف الـ source code لازم يطابق تماماً اسم الكلاس العام حتى الحروف الكبيرة والصغيرة. لو الكلاس اسمه HelloWorld → الملف لازم يكون HelloWorld.java. بعد الـ compile يتعمل HelloWorld.class وبيشغّله JVM.

🔤 Case Sensitivity & Naming Conventions — الحساسية للحروف واصطلاحات التسمية

Java is case-sensitive — System ≠ system ≠ SYSTEM. All three are different identifiers.

Naming conventions:
• Classes → PascalCase: MyJavaClass
• Variables & Methods → camelCase: myVariable, calculateSum()
• Constants → ALL_UPPER_CASE: MAX_SIZE, NUMBER_OF_MONTHS

Java حساسة للحروف الكبيرة والصغيرة — System غير system غير SYSTEM. كل واحدة identifier مختلف.

اصطلاحات التسمية:
• الكلاسات → PascalCase: MyJavaClass (كل كلمة تبدأ بحرف كبير)
• المتغيرات والدوال → camelCase: myVariable (أول كلمة صغيرة، الباقي كبيرة)
• الثوابت → ALL_UPPER_CASE: MAX_SIZE (كل الحروف كبيرة + underscore)

الـ Identifiers لازم تبدأ بحرف أو $ أو _ فقط — مش ممكن تبدأ برقم. مثال: 74ak غير صالح، لكن ak74 صالح. كمان مش ممكن تستخدم Reserved Keywords زي class أو int كاسم متغير.

▶ The main() Method — دالة main

public static void main(String[] args) is the entry point of every Java program. The JVM starts execution here.

• public — accessible from anywhere (needed by JVM)
• static — no object needed to call it
• void — returns no value
• String[] args — command-line arguments array

public static void main(String[] args) هي نقطة البداية لكل برنامج Java. الـ JVM بيبدأ التنفيذ منها.

• public — يمكن الوصول إليها من أي مكان (ضروري للـ JVM)
• static — مش محتاج object عشان تستدعيها
• void — مش بترجع أي قيمة
• String[] args — مصفوفة للمعطيات من سطر الأوامر

🔒 Access Modifiers — محددات الوصول

public — accessible from anywhere in the program or other classes

protected — accessible within the same package AND from subclasses (even in different packages)

private — accessible only within the same class — most restricted

public — يمكن الوصول إليه من أي مكان في البرنامج أو من كلاسات تانية

protected — يمكن الوصول إليه من نفس الباكدج ومن الـ subclasses حتى لو في باكدج مختلف

private — يمكن الوصول إليه داخل نفس الكلاس فقط — الأكثر تقييداً

📦 Data Types — أنواع البيانات

Primitive Types — store values directly in memory:
• byte (8-bit): range -128 to 127
• short (16-bit): range -32,768 to 32,767
• int (32-bit): range -2³¹ to 2³¹-1 ≈ ±2 billion
• long (64-bit): very large whole numbers
• float (32-bit): decimal numbers (less precise)
• double (64-bit): decimal numbers (more precise, default)
• boolean: only true or false
• char (16-bit): single Unicode character like 'A'

الأنواع الأصلية — Primitive — بتخزن القيم مباشرة في الذاكرة:
• byte (8-bit): من -128 إلى 127
• short (16-bit): من -32,768 إلى 32,767
• int (32-bit): من -2³¹ إلى 2³¹-1 ≈ ±2 مليار
• long (64-bit): أعداد صحيحة كبيرة جداً
• float (32-bit): أعداد كسرية (أقل دقة)
• double (64-bit): أعداد كسرية (أكثر دقة، الافتراضي)
• boolean: بس true أو false
• char (16-bit): حرف Unicode واحد زي 'A'

Non-Primitive Types — store a reference (address) to an object in memory:
• String — sequence of characters: "Hello"
• Array — collection of same-type values: int[] nums = {1,2,3};
Non-primitive types are objects and have methods you can call on them.

الأنواع غير الأصلية — Non-Primitive — بتخزن مرجع (عنوان) للـ object في الذاكرة:
• String — سلسلة حروف: "Hello"
• Array — مجموعة قيم من نفس النوع: int[] nums = {1,2,3};
الأنواع غير الأصلية هي objects وعندها دوال (methods) تقدر تستدعيها عليها.

int age = 20; // Primitive — قيمة مباشرة double gpa = 3.75; // Primitive — كسري boolean passed = true; // Primitive — صح أو غلط char grade = 'A'; // Primitive — حرف واحد String name = "Dina"; // Non-Primitive — Object

Quiz — Lecture 1 35 Questions

Score: 0 / 35

Operators & Constants

Constants · print/println · Escape Sequences · Arithmetic & Logical Operators · Precedence · Type Casting

// Quick Summary — Lecture 2 · ملخص المحاضرة الثانية

الثابت — Constant: يُعرَّف بكلمة final — القيمة لا تتغير بعد التعيين. مثال: final int MONTHS = 12;

print() بتطبع في نفس السطر · println() بتطبع ثم تنزل سطر جديد تلقائياً — print() stays on same line · println() adds new line

الرموز الخاصة — Escape Sequences: \n سطر جديد · \t مسافة tab · \" علامة اقتباس مزدوجة · \' علامة اقتباس مفردة · \\ شرطة مائلة عكسية

العمليات الحسابية — Arithmetic: + جمع · - طرح · * ضرب · / قسمة (نتيجة int لو النوعان int) · % باقي القسمة

أولوية العمليات — Operator Precedence: () → ++/-- → * / % → + - (من اليسار لليمين)

Pre-increment ++x: يزيد أولاً ثم يُعطي القيمة · Post-increment x++: يُعطي القيمة أولاً ثم يزيد

مشغّلات التعيين المختصرة — Compound assignment: += -= *= /= — مثال: a += 3 تعني a = a + 3

المشغّل الثلاثي — Ternary: condition ? val1 : val2 — اختصار لـ if-else. مثال: int min = (a < b) ? a : b;

المنطقية — Logical: && AND (و) · || OR (أو) · ! NOT (عكس) — تُستخدم مع التعبيرات البوليانية

الترقية التلقائية — Promotion: Java ترقّي النوع الأصغر للأكبر تلقائياً (مثل int → long) عند التعيين أو العمليات

تحويل النوع — Type Casting: تحويل يدوي — الصيغة: (targetType) value — مثال: (byte)(num1 + num2)

boolean: تخزن true أو false فقط · !true = false · !false = true

📌 Constants — الثوابت

A constant is a variable whose value cannot be changed after it's set. Declared using the keyword final. Naming convention: ALL_UPPERCASE with underscores.
Trying to reassign a final variable causes a compile error.

الثابت هو متغير قيمته لا تتغير بعد ما تتحدد. بيتعرّف بكلمة final. اصطلاح التسمية: حروف كبيرة كلها مع underscore.
لو حاولت تغيّر قيمة final هيحصل compile error.

final int MONTHS = 12; final double PI = 3.14159; // MONTHS = 13; ← compile error! لا يمكن تغيير الثابت

🖨 print() vs println()

System.out.print("text") — prints on the same line, no newline added

System.out.println("text") — prints then moves to a new line automatically

You can also print variables directly: System.out.println(age);

System.out.print("text") — بتطبع في نفس السطر، مش بتضيف سطر جديد

System.out.println("text") — بتطبع ثم بتنزل سطر جديد تلقائياً

تقدر تطبع متغيرات مباشرة: System.out.println(age);

System.out.print("Hello "); System.out.print("World"); // Output: Hello World (نفس السطر) System.out.println("First"); System.out.println("Second"); // Output: First // Second (سطرين)

↩ Escape Sequences — الرموز الخاصة

Special characters that start with \ and represent non-printable or special characters:
• \n — new line (like pressing Enter)
• \t — tab (large space)
• \" — print a double-quote inside a String
• \' — print a single-quote inside a String
• \\ — print a single backslash \

حروف خاصة بتبدأ بـ \ وبتمثل حروف مش قابلة للطباعة أو خاصة:
• \n — سطر جديد (زي ضغطة Enter)
• \t — مسافة tab (مسافة كبيرة)
• \" — بتطبع علامة اقتباس مزدوجة جوه الـ String
• \' — بتطبع علامة اقتباس مفردة جوه الـ String
• \\ — بتطبع شرطة مائلة عكسية واحدة \

System.out.println("Good Morning\nHow are you?"); // Output: Good Morning // How are you? System.out.println("Name:\tAhmed"); // Output: Name: Ahmed System.out.println("Hi \"Java\""); // Output: Hi "Java"

➕ Arithmetic Operators & Precedence — العمليات الحسابية والأولوية

Operators: + add · - subtract · * multiply · / divide · % modulus (remainder)

Important: int / int = int — decimal part is truncated: 10/3 = 3 (not 3.33)

Operator Precedence (highest → lowest):
1. () parentheses
2. ++ -- increment/decrement
3. * / % (left to right)
4. + - (left to right)

المشغّلات: + جمع · - طرح · * ضرب · / قسمة · % باقي القسمة

مهم: int / int = int — الجزء الكسري بيتحذف: 10/3 = 3 (مش 3.33)

أولوية العمليات (من الأعلى للأدنى):
1. () الأقواس أولاً
2. ++ -- الزيادة والنقصان
3. * / % (من اليسار لليمين)
4. + - (من اليسار لليمين)

int c = 25 - 5 * 4 / 2 - 10 + 4; // الحساب: 5*4=20 → 20/2=10 → 25-10=15 → 15-10=5 → 5+4=9 // c = 9 int rem = 31 % 6; // rem = 1 (لأن 6×5=30 والباقي 1) int div = 10 / 3; // div = 3 (الكسر بيتحذف)

++ Increment & Decrement — الزيادة والنقصان

Pre-increment ++x: increment first, then use the value
Post-increment x++: use the value first, then increment

Same logic applies for --x (pre-decrement) and x-- (post-decrement)

Pre-increment ++x: بيزيد أولاً ثم بيستخدم القيمة
Post-increment x++: بيستخدم القيمة أولاً ثم بيزيد

نفس المنطق بينطبق على --x (pre-decrement) وx-- (post-decrement)

int i = 6; int j = ++i; // i أصبح 7 أولاً، ثم j = 7 int a = 6; int b = a++; // b = 6 أولاً، ثم a أصبح 7 // مثال مركّب: int count = 15; int x = count++; // x=15, count=16 int y = count; // y=16 int z = ++count; // count=17, z=17

⚡ Compound Assignment & Ternary — التعيين المختصر والمشغّل الثلاثي

Compound Assignment: shorthand for combining operation + assignment
a += 3 means a = a + 3
b -= 4 means b = b - 4
c *= 2 means c = c * 2
d /= 5 means d = d / 5

Ternary Operator: shorthand for if-else
Syntax: condition ? valueIfTrue : valueIfFalse

مشغّلات التعيين المختصرة: اختصار لدمج العملية مع التعيين
a += 3 تعني a = a + 3
b -= 4 تعني b = b - 4
c *= 2 تعني c = c * 2
d /= 5 تعني d = d / 5

المشغّل الثلاثي: اختصار لـ if-else
الصيغة: condition ? القيمة_لو_صح : القيمة_لو_غلط

// Ternary Example int a = 2, b = 5; int min = (a < b) ? a : b; // min = 2 (لأن 2 < 5) int max = (a > b) ? a : b; // max = 5 // Chain example int x = 10; x += 3; // x=13 x -= 4; // x=9 x *= 2; // x=18 x /= 2; // x=9

🔁 Type Casting & Promotion — تحويل الأنواع

Automatic Promotion: Java automatically promotes smaller types to larger types when needed. No code required.
Example: long big = 6; — 6 is int but automatically promoted to long

Type Casting: manual conversion, needed when converting from larger to smaller type (data loss possible).
Syntax: (targetType) value

الترقية التلقائية — Automatic Promotion: Java بترقّي الأنواع الأصغر للأكبر تلقائياً وقت الحاجة. مش محتاج كود.
مثال: long big = 6; — 6 نوعه int لكن بيتترقى تلقائياً لـ long

تحويل النوع — Type Casting: تحويل يدوي، محتاجه لما بتحوّل من نوع أكبر لأصغر (ممكن يحصل data loss).
الصيغة: (targetType) value

// Automatic Promotion long big = 6; // int → long تلقائياً double d = 5; // int → double تلقائياً // Manual Type Casting long myLong = 100; int myInt = (int) myLong; // تحويل يدوي من long لـ int byte result = (byte)(53 + 47); // = 100 (ضمن مدى byte)

لو الرقم أكبر من مدى النوع المستهدف (مثلاً byte أكبر من 127) هيحصل data loss والرقم بيتقطع — انتبه من ده!

Quiz — Lecture 2 35 Questions

Score: 0 / 35

Scanner & Control Flow

Scanner Input · if / else / if-else-if / Nested if · switch-case · Comparison Operators

// Quick Summary — Lecture 3 · ملخص المحاضرة الثالثة

Scanner بتقرأ مدخلات المستخدم. الاستيراد: import java.util.*; الإنشاء: Scanner sc = new Scanner(System.in); الإغلاق: sc.close();

دوال Scanner — Methods: nextInt() رقم صحيح · nextDouble() عدد كسري · next() كلمة واحدة · nextLine() سطر كامل · hasNext() فحص وجود قيمة

Control Flow — التحكم في التدفق: 1) اتخاذ القرار (if, switch) · 2) الحلقات (for, while, do-while) · 3) القفز (break, continue)

مشغّلات المقارنة — Comparison: == يساوي · != لا يساوي · < أصغر · > أكبر · <= أصغر أو يساوي · >= أكبر أو يساوي

if: ينفذ الكود فقط لو الشرط true — executes block only when condition is true

if-else: الكتلة الأولى لو true، الثانية لو false — البديل دائماً موجود

if-else-if ladder: يفحص شروطاً بالترتيب — أول شرط يكون true فقط هو اللي ينفذ

Nested if — if متداخل: if جوه if — الشرط الداخلي يُفحص فقط لما الخارجي يكون true

switch: يُطابق القيمة مع case · break يخرج من switch · default ينفذ لو مفيش case مطابق

switch يدعم: int, short, byte, char, String, enum — لا يدعم float أو double

Fall-through: بدون break، التنفيذ يكمل في الـ cases التالية حتى لو مش متطابقة — execution continues into next cases without break

زوجي/فردي — Even/Odd: num % 2 == 0 → زوجي · num % 2 != 0 → فردي

⌨ Scanner — قراءة مدخلات المستخدم

Scanner is a Java class used to read input from the user (keyboard).

Steps to use Scanner:
1. Import: import java.util.*;
2. Create: Scanner sc = new Scanner(System.in);
3. Read: use methods like nextInt(), nextLine(), etc.
4. Close: sc.close(); (frees resources)

Scanner هو كلاس في Java بيُستخدم لقراءة مدخلات من المستخدم (الـ keyboard).

خطوات استخدام Scanner:
1. الاستيراد: import java.util.*;
2. الإنشاء: Scanner sc = new Scanner(System.in);
3. القراءة: استخدم دوال مثل nextInt() وnextLine() وغيرها
4. الإغلاق: sc.close(); (بيحرر الموارد)

Scanner Methods:
• nextInt() — reads integer
• nextDouble() — reads decimal number
• next() — reads one word (stops at space)
• nextLine() — reads full line (until Enter)
• hasNext() — returns true if another token exists

دوال Scanner:
• nextInt() — تقرأ رقم صحيح
• nextDouble() — تقرأ عدد كسري
• next() — تقرأ كلمة واحدة (بتوقف عند المسافة)
• nextLine() — تقرأ سطر كامل (حتى Enter)
• hasNext() — بترجع true لو في قيمة جاية

import java.util.*; public class Input { public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); System.out.print("Enter your name: "); String name = sc.nextLine(); System.out.print("Enter your age: "); int age = sc.nextInt(); System.out.println("Hello " + name + ", age: " + age); sc.close(); } }

⚖ Comparison & Logical Operators — مشغّلات المقارنة والمنطق

Comparison Operators (return boolean):
== equal to · != not equal
< less than · > greater than
<= less or equal · >= greater or equal

Logical Operators:
&& AND — true only if ALL conditions are true
|| OR — true if at least one condition is true
! NOT — reverses the boolean value

مشغّلات المقارنة (بترجع boolean):
== يساوي · != لا يساوي
< أصغر من · > أكبر من
<= أصغر أو يساوي · >= أكبر أو يساوي

مشغّلات المنطق:
&& AND — true بس لو كل الشروط true
|| OR — true لو شرط واحد على الأقل true
! NOT — بيعكس القيمة البوليانية

لا تخلط بين == (مقارنة) و= (تعيين)! كتابة if(x = 5) بدل if(x == 5) هيعطي compile error أو نتيجة غلط.

🔀 if · if-else · if-else-if · Nested if

if: executes block only when condition is true

if-else: first block if true, second (else) if false. Always one of them runs.

if-else-if ladder: checks multiple conditions in order. Only the first true condition executes. Final else runs if ALL conditions are false.

Nested if: an if inside another if. Inner condition is only checked when outer is true.

if: بينفذ الكود فقط لو الشرط true

if-else: الكتلة الأولى لو true، الثانية (else) لو false. دايماً واحدة بتنفذ.

if-else-if ladder: بيفحص شروط بالترتيب. بس أول شرط true هو اللي بينفذ. الـ else الأخيرة بتنفذ لو كل الشروط false.

Nested if: if جوه if. الشرط الداخلي بيتفحص بس لما الخارجي يكون true.

// Grading Example — if-else-if ladder int score = 72; if (score >= 85) { System.out.println("Excellent"); } else if (score >= 75) { System.out.println("Very Good"); } else if (score >= 65) { System.out.println("Good"); // ← هذا سيطبع (72 >= 65) } else if (score >= 50) { System.out.println("Pass"); } else { System.out.println("Fail"); }

🔲 switch Statement — جملة switch

switch compares a variable to exact values (cases). More readable than long if-else-if when checking one variable against many values.

break: exits the switch after matching case — without it, execution falls through to next cases.
default: optional — runs when no case matches (like the final else).

Supported types: int, short, byte, char, String, enum
NOT supported: float, double, long

switch بيقارن متغير بـ قيم محددة (cases). أوضح من if-else-if الطويلة لما بتفحص متغير واحد على قيم كتير.

break: بيخرج من switch بعد تنفيذ الـ case المناسب — بدونه، التنفيذ بيكمل في الـ cases التالية (fall-through).
default: اختياري — بينفذ لو مفيش case بيطابق (زي الـ else الأخيرة).

الأنواع المدعومة: int, short, byte, char, String, enum
غير مدعومة: float, double, long

int day = 3; switch (day) { case 1: System.out.println("Monday"); break; case 2: System.out.println("Tuesday"); break; case 3: System.out.println("Wednesday"); break; // ← هذا default: System.out.println("Other"); } // Fall-through example (بدون break) switch(2) { case 2: System.out.println("Case 2"); // ← بيطبع case 3: System.out.println("Case 3"); // ← بيطبع كمان! (fall-through) }

لو نسيت break في case، التنفيذ بيكمل تلقائياً في الـ case اللي بعده حتى لو قيمته مختلفة — ده بيسمى Fall-Through وهو سلوك مقصود أحياناً!

Quiz — Lecture 3 35 Questions

Score: 0 / 35

Loops & Jump Statements

for loop · while loop · do-while loop · break · continue

// Quick Summary — Lecture 4 · ملخص المحاضرة الرابعة

صيغة for — for loop syntax: for(init; condition; update){} — init بتشتغل مرة، الشرط بيتفحص كل مرة، update بتشتغل بعد كل iteration

ترتيب تنفيذ for — for loop flow: init ← فحص الشرط ← تنفيذ الكود ← update ← فحص مجدداً ← تكرار حتى يكون الشرط false

حلقة لا نهائية — Infinite for: for(;;){} — بدون شرط، تشتغل للأبد. استخدم break أو Ctrl+C للإيقاف

while loop: while(condition){} — يفحص الشرط قبل كل تنفيذ. لو false من البداية الكود لن ينفذ أبداً

do-while: do{} while(condition); — ينفذ الكود أولاً ثم يفحص. مضمون يشتغل مرة واحدة على الأقل

while مقابل do-while: while = الشرط يُفحص قبل · do-while = دائماً ينفذ مرة على الأقل — while checks before · do-while always runs at least once

break: يُنهي الحلقة بالكامل فوراً ويقفز للكود اللي بعدها — immediately terminates the ENTIRE loop

continue: يتخطى باقي كود الـ iteration الحالية ويروح للتالية — skips remaining code in current iteration

العد التنازلي — Descending: for(int i=50; i>=10; i--) — استخدم i-- للعد للخلف

جدول الضرب — Multiplication table: for(int i=1; i<=10; i++) println(n+" x "+i+" = "+(n*i));

مجموع 1-100 — Sum 1-100: while(num<=100){ sum+=num; num++; } → النتيجة = 5050

عكس String — Reverse String: for(int i=input.length()-1; i>=0; i--) ثم اضف input.charAt(i)

🔁 for Loop — حلقة for

for loop is best when the number of iterations is known in advance.

Syntax: for(init; condition; update) { body }

Execution order:
1. init runs once at the start
2. condition is checked — if false, loop ends
3. body executes
4. update runs (e.g. i++)
5. Go back to step 2

حلقة for الأفضل لما عدد التكرارات معروف مسبقاً.

الصيغة: for(init; condition; update) { body }

ترتيب التنفيذ:
1. init بيشتغل مرة واحدة في البداية
2. condition بيتفحص — لو false الحلقة بتنتهي
3. body بينفذ
4. update بيشتغل (مثلاً i++)
5. يرجع للخطوة 2

// Print 10 to 19 for(int i = 10; i <= 19; i++) { System.out.println(i); } // Descending: 50 down to 10 for(int i = 50; i >= 10; i--) { System.out.println(i); } // Even numbers 2-20 (step of 2) for(int i = 2; i <= 20; i += 2) { System.out.println(i); // يطبع 10 أرقام } // Infinite loop for(;;) { // لا يوجد شرط = يشتغل للأبد // استخدم break للخروج }

🔄 while Loop — حلقة while

while loop is best when the number of iterations is unknown (depends on user input or a condition).

Checks condition BEFORE executing the body. If condition is false from the start, the body never executes.

Important: always update the variable inside the loop or you'll get an infinite loop!

حلقة while الأفضل لما عدد التكرارات مش معروف (بيعتمد على مدخل المستخدم أو شرط).

بتفحص الشرط قبل تنفيذ الكود. لو الشرط false من البداية، الكود لن ينفذ أبداً.

مهم: دايماً حدّث المتغير جوه الحلقة وإلا هيحصل infinite loop!

// Sum 1 to 100 int num = 1, sum = 0; while (num <= 100) { sum += num; // sum = sum + num num++; // لازم! بدونها infinite loop } System.out.println(sum); // 5050 // Print only even numbers 1-100 int i = 1; while (i <= 100) { if (i % 2 == 0) System.out.println(i); i++; }

🔃 do-while Loop — حلقة do-while

do-while executes the body FIRST, then checks the condition. Guaranteed to run at least once even if condition is false from the start.

Key difference from while: while might run 0 times, do-while always runs at least 1 time.

Don't forget the ; after while(condition) — required!

do-while بتنفذ الكود أولاً ثم تفحص الشرط. مضمونة تشتغل مرة واحدة على الأقل حتى لو الشرط false من البداية.

الفرق الأساسي عن while: while ممكن تشتغل 0 مرات، do-while دايماً بتشتغل مرة على الأقل.

لا تنسى ; بعد while(condition) — مطلوبة!

int i = 0; do { System.out.println(i); // بيطبع 0,1,2,3,4 i++; } while (i < 5); // ← لازم الـ ; في الآخر // حتى لو الشرط false من البداية، بيشتغل مرة واحدة int x = 10; do { System.out.println("Runs once!"); // بيطبع مرة واحدة } while (x < 5); // الشرط false لكن الكود نفذ مرة

⛔ break & continue — الخروج والتخطي

break: immediately terminates the entire loop and continues execution after the loop. Only exits the immediate (innermost) loop it's in.

continue: skips the remaining code in the current iteration and jumps to the next iteration. The loop itself continues.

break: بيُنهي الحلقة بالكامل فوراً ويكمل التنفيذ بعد الحلقة. بيخرج فقط من الحلقة الداخلية المباشرة.

continue: بيتخطى باقي كود الـ iteration الحالية ويروح للـ iteration التالية. الحلقة نفسها بتكمل.

// break example for(int i = 1; i <= 10; i++) { if (i == 5) break; // يخرج لما i=5 System.out.println(i); // يطبع 1,2,3,4 فقط } // continue example for(int i = 1; i <= 10; i++) { if (i == 5) continue; // يتخطى i=5 System.out.println(i); // يطبع 1,2,3,4,6,7,8,9,10 } // Reverse a String String input = "Java"; String rev = ""; for(int i = input.length() - 1; i >= 0; i--) { rev += input.charAt(i); } System.out.println(rev); // "avaJ"

break في nested loops (حلقات متداخلة) بيخرج فقط من الحلقة الداخلية — مش من الكل. لو محتاج تخرج من حلقات متداخلة استخدم labeled break.

📊 Loop Comparison — مقارنة الحلقات

for → use when iterations count is known
while → use when iterations count is unknown, condition checked before
do-while → use when you need to run at least once, condition checked after

All three can do the same tasks — choice depends on readability and the use case.

for → استخدمها لما عدد التكرارات معروف
while → استخدمها لما عدد التكرارات مش معروف، الشرط بيتفحص قبل
do-while → استخدمها لما محتاج الكود يشتغل مرة واحدة على الأقل، الشرط بعد

الثلاثة قادرين يعملوا نفس الشيء — الاختيار بيعتمد على الوضوح وطبيعة المشكلة.

Quiz — Lecture 4 35 Questions

Score: 0 / 35

Nested Loops & Arrays

Nested for Loop · 1D & 2D Arrays · for-each · break & continue with Arrays

🔁🔁 Nested for Loop — الحلقة المتداخلة

A nested for loop is a for loop placed inside another for loop. The outer loop controls rows; the inner loop controls columns. For every ONE iteration of the outer loop, the inner loop completes ALL its iterations.

Nested for loop هو for loop جوه for loop — الـ outer loop بتتحكم في الصفوف، والـ inner loop بتتحكم في الأعمدة. في كل مرة الـ outer بتشتغل مرة واحدة، الـ inner بتكمل كل تكراراتها.

int height = 4, width = 10; for(int rowCount = 0; rowCount < height; rowCount++) { // 4 صفوف for(int colCount = 0; colCount < width; colCount++) { // 10 أعمدة System.out.print("@"); } System.out.println(); // سطر جديد بعد كل صف } // Output: 4 rows of 10 @ each = 40 total

📦 Introduction to Arrays — مقدمة عن المصفوفات

An array is a container that holds a group of values of a single type. Length is fixed after creation. Elements are accessed by numerical index starting from 0.

Advantages: Code optimization, random access by index
Disadvantage: Fixed size — cannot grow after creation

Array هو container بيخزن مجموعة من القيم من نفس النوع. حجمه ثابت بعد الإنشاء. العناصر بيتوصّلها بـ index يبدأ من 0.

مزايا: تحسين الكود، الوصول العشوائي بالـ index
عيوب: حجم ثابت — مش ممكن يكبر بعد الإنشاء

// Declaration - Instantiation - Initialization int[] ages = new int[5]; // حجم 5، كل العناصر = 0 ages[0] = 10; // تعيين القيم يدوياً ages[1] = 20; // Shorthand: declaration + init in one line int[] a = {33, 3, 4, 5}; // a.length = 4 // Traversal for(int i = 0; i < a.length; i++) { System.out.println(a[i]); }

🔄 for-each & Array Operations

Enhanced for-each: cleaner syntax to loop through arrays without needing index

Setting values: use regular for with assignment
break with arrays: stop searching once found
continue with arrays: skip elements matching a condition

Enhanced for-each: صيغة أوضح للمشي على الـ array بدون الحاجة للـ index

تعيين القيم: استخدم الـ for العادية مع التعيين
break مع arrays: وقّف البحث لما تلاقي المطلوب
continue مع arrays: تخطى عناصر بشرط معين

// For-each for(int age : ages) { System.out.println(age); } // Set all elements to 10 for(int i=0; i<ages.length; i++) ages[i] = 10; // Break: find first value > passmark boolean passed = false; int[] score = {4,6,2,8,12,34,9}; for(int s : score) { if(s > 12){ passed=true; break; } }

📊 2D Arrays — المصفوفات ثنائية الأبعاد

A 2D array organizes data in rows and columns — like a table or calendar. Declared with type[][] and accessed with two indices: [row][column].

2D array بتنظم البيانات في صفوف وأعمدة — زي جدول أو تقويم. بيتعلن بـ type[][] ويتوصّله بـ index مزدوج: [row][column].

int[][] yearlySales; yearlySales = new int[5][4]; // 5 rows (years), 4 cols (quarters) yearlySales[0][0] = 1000; // Year1, Q1 yearlySales[0][1] = 1500; // Year1, Q2 yearlySales[3][3] = 2000; // Year4, Q4

// Quick Summary — Lecture 5 · ملخص المحاضرة الخامسة

Nested for loop: for جوه for — الـ outer تتحكم في الصفوف، الـ inner في الأعمدة — الإجمالي = outer × inner iterations

Array: container لقيم من نفس النوع، حجم ثابت، index يبدأ من 0 — fixed-size container, index starts at 0

إعلان وإنشاء — Declaration: int[] arr = new int[5]; أو اختصاراً: int[] arr = {1,2,3};

Traversal: for(int i=0; i<arr.length; i++) أو for(int x : arr) (for-each)

arr.length = حجم الـ array (property مش method) · آخر index = length - 1

ArrayIndexOutOfBoundsException: بتحصل لو وصلت لـ index خارج النطاق — مثلاً arr[arr.length]

2D Array: int[][] arr = new int[rows][cols]; · الوصول: arr[row][col]

مزايا Array: Code optimization + Random access · عيب: Fixed size

Quiz — Lecture 5 35 Questions

Score: 0 / 35

ArrayList

ArrayList Class · add/get/set/remove · size · sort · Collections

📋 ArrayList vs Array

ArrayList is a class in java.util that stores a dynamic list of objects. Unlike arrays, you don't need to specify a size — it grows automatically as you add elements. It can store Objects only, not primitives directly (use Integer, Double, etc.).

ArrayList هو كلاس في java.util بيخزن قائمة ديناميكية من الـ objects. خلافاً للـ array، مش محتاج تحدد الحجم — بيكبر تلقائياً مع الإضافة. بيخزن Objects فقط مش primitives مباشرة (استخدم Integer وDouble وغيرها).

Array: Fixed size · uses arr[i] · length with .length
ArrayList: Dynamic size · uses list.get(i) · size with .size()

Array: حجم ثابت · بيستخدم arr[i] · الحجم بـ .length
ArrayList: حجم ديناميكي · بيستخدم list.get(i) · الحجم بـ .size()

⚙ ArrayList Methods — دوال ArrayList

cars.add("BMW") — add to end
cars.get(0) — access by index
cars.set(0, "Opel") — change element
cars.remove(0) — remove by index
cars.clear() — remove all elements
cars.size() — number of elements
cars.contains("BMW") — check existence
cars.indexOf("Ford") — find index

cars.add("BMW") — إضافة في الآخر
cars.get(0) — الوصول بالـ index
cars.set(0, "Opel") — تغيير عنصر
cars.remove(0) — حذف بالـ index
cars.clear() — حذف كل العناصر
cars.size() — عدد العناصر
cars.contains("BMW") — فحص وجود عنصر
cars.indexOf("Ford") — إيجاد الـ index

import java.util.ArrayList; import java.util.Collections; ArrayList<String> cars = new ArrayList<>(); cars.add("Volvo"); cars.add("BMW"); cars.add("Ford"); cars.add("Mazda"); System.out.println(cars.get(0)); // Volvo cars.set(0, "Opel"); // يغير Volvo لـ Opel cars.remove(0); // يحذف Opel System.out.println(cars.size()); // 3 Collections.sort(cars); // ترتيب أبجدي for(String i : cars) System.out.println(i);

🔄 Looping through ArrayList

Two ways to loop:
1. Regular for loop with cars.size() and cars.get(i)
2. For-each loop — simpler when index not needed

طريقتان للمشي على ArrayList:
1. Regular for loop مع cars.size() وcars.get(i)
2. For-each loop — أبسط لما مش محتاج الـ index

// Regular for loop for(int i = 0; i < cars.size(); i++) { System.out.println(cars.get(i)); } // Enhanced for-each for(String i : cars) { System.out.println(i); }

// Quick Summary — Lecture 6 · ملخص المحاضرة السادسة

ArrayList = قائمة ديناميكية من الـ objects، حجمها يكبر تلقائياً — dynamic list, grows automatically

Import: import java.util.ArrayList; · إنشاء: ArrayList<String> cars = new ArrayList<>();

add() إضافة · get(i) وصول · set(i,v) تعديل · remove(i) حذف · clear() مسح الكل · size() الحجم

Looping: for(int i=0;i<cars.size();i++) cars.get(i) أو for-each: for(String i : cars)

Sorting: Collections.sort(cars); — محتاج import java.util.Collections;

Array vs ArrayList: Array = حجم ثابت · ArrayList = حجم ديناميكي · Array = .length · ArrayList = .size()

بتخزن Objects فقط — استخدم Integer بدل int وDouble بدل double مع ArrayList

Quiz — Lecture 6 35 Questions

Score: 0 / 35

Methods

Declaration · Parameters · Return Values · Types · Naming · Calling

📐 Method Syntax & Components — صيغة الدالة ومكوناتها

A Java method is a block of code that performs a specific task. All methods must belong to a class. Methods allow code reuse, improving efficiency and organization.

Syntax: accessModifier returnType methodName(parameters){ body }

Components:
• Modifier — access level (public/private/etc.)
• Return Type — void or a data type
• Method Name — camelCase verb
• Parameters — optional input values
• Body — the code to execute

Java method هي كتلة كود بتنفذ مهمة محددة. كل الدوال لازم تكون جوه كلاس. بتسمح بإعادة استخدام الكود وتحسين التنظيم.

الصيغة: accessModifier returnType methodName(parameters){ body }

المكونات:
• Modifier — مستوى الوصول (public/private...)
• Return Type — void أو نوع بيانات
• Method Name — camelCase وتبدأ بـ verb
• Parameters — قيم مُدخلة اختيارية
• Body — الكود اللي هيتنفذ

public int max(int x, int y) { // modifier=public, return=int, params=x,y if(x > y) return x; else return y; }

📞 Parameters, Arguments & Return Values

Parameter: variable in method definition → (String fname)
Argument: actual value passed when calling → myMethod("Liam")

Return values: use return keyword + matching return type. If no return: use void.

Parameter: المتغير في تعريف الدالة → (String fname)
Argument: القيمة الفعلية عند الاستدعاء → myMethod("Liam")

قيم الإرجاع: استخدم return مع return type مناسب. لو مفيش: استخدم void.

// No return static void myMethod(String fname) { System.out.println(fname + " accepted"); } // With return static int addFive(int x) { return 5 + x; } // Multiple parameters static void myMethod(String fname, int age) { System.out.println(fname + " is " + age); } myMethod("Liam", 5); // Liam is 5

🏷 Types of Methods — أنواع الدوال

Predefined: built into Java — Math.random(), Math.PI, System.out.println()

User-defined: written by programmer — sayHello(), findSum(), reverseString()

Instance Method: needs object → obj.method()
Static Method: no object needed → ClassName.method()

Predefined: موجودة في مكتبات Java — Math.random(), Math.PI

User-defined: بيكتبها المبرمج — sayHello(), findSum(), reverseString()

Instance Method: تحتاج object → obj.method()
Static Method: مش محتاج object → ClassName.method()

// Factorial (recursive) public static int factorial(int n) { if(n == 0) return 1; else return n * factorial(n-1); } // factorial(3) = 6 // Find largest in array public static int findLargest(int[] arr) { int max = arr[0]; for(int num : arr) if(num > max) max = num; return max; } // Reverse string public static String reverseString(String str) { String rev = ""; for(int i = str.length()-1; i >= 0; i--) rev += str.charAt(i); return rev; }

// Quick Summary — Lecture 7 · ملخص المحاضرة السابعة

Method = كتلة كود بتنفذ مهمة — بتُكتب مرة وبتُستدعى عدة مرات — write once, call many times

الصيغة: accessModifier returnType methodName(params){ body }

void = لا ترجع قيمة · لو بترجع قيمة حدد النوع (int, String, double...)

Parameter = المتغير في التعريف · Argument = القيمة الفعلية عند الاستدعاء

Predefined: Math.random(), Math.PI — User-defined: دوال بتكتبها أنت

Static method: تُستدعى بدون object · Instance method: تحتاج object

Naming: camelCase تبدأ بـ verb — مثل: findSum(), calculateMax(), setName(), getAge()

Quiz — Lecture 7 35 Questions

Score: 0 / 35

☕ Java OOP — Lectures 8, 9, 10 & 11

البرمجة كائنية التوجه

شرح كامل بالعربي والإنجليزي لمحاضرات OOP مع أمثلة حقيقية من المحاضرات

مواضيع رئيسية

25+

مثال كود

أسئلة تفاعلية

الدرس الأول · Lesson 01

الكلاس والأوبجكت
Class & Object

الـ Class هو القالب أو المخطط، والـ Object هو النسخة الفعلية المصنوعة من القالب ده. زي ما عندك قالب بيتين → كل بيت بتبنيه هو Object منفصل.

📦

🏗️

الكلاس (Class)

Blueprint / Template

القالب اللي بنحدد فيه الخصائص (Attributes) والوظائف (Methods). بيتكتب مرة واحدة وبيستخدم أكتر من مرة.

🎯

الأوبجكت (Object)

Instance / Real Entity

النسخة الفعلية من الكلاس. لو الكلاس هو "عربيه"، فـ Volvo وAudi وToyota كل واحدة منهم Object.

🍎

مثال: Fruit

Real-world Example

الكلاس هو Fruit وكل فاكهة (Apple, Banana, Mango) هي Object مستقل بخصائصه.

مثال 1 — إنشاء كلاس وأوبجكت واحد

Java

public class Main {
    // Attribute — خاصية داخل الكلاس
    int x = 5;

    public static void main(String[] args) {
        // إنشاء Object من الكلاس
        Main myObj = new Main();

        // الوصول للخاصية عن طريق الـ Object
        System.out.println(myObj.x);
    }
}

⚡ Output

💡 شرح الكود

Main myObj = new Main(); → بنقول هنا: "اعمل لي نسخة (Object) من الكلاس Main وسميها myObj".
الكلمة new هي اللي بتخلق الـ Object في الذاكرة.
myObj.x → بنصل لقيمة الـ x اللي جوه الكلاس عن طريق الـ Object.

أكتر من Object من نفس الكلاس

ممكن تعمل عدد غير محدود من الـ Objects من نفس الكلاس، وكل واحد منفصل تمامًا.

مثال 2 — أوبجكتين من نفس الكلاس

Java

public class Main {
    int x = 5;

    public static void main(String[] args) {
        Main myObj1 = new Main(); // Object 1
        Main myObj2 = new Main(); // Object 2

        System.out.println(myObj1.x); // 5
        System.out.println(myObj2.x); // 5
    }
}

⚡ Output

5 5

الدرس الثاني · Lesson 02

الكونستراكتور
Constructor

الـ Constructor هو دالة خاصة بتتنادى تلقائيًا لما تعمل Object جديد. بيستخدم لتحديد القيم الابتدائية للـ Attributes.

🔨

✅ اسمه = اسم الكلاس بالظبط 🚫 مفيش Return Type ⚡ بيتنادى تلقائي مع new ♾️ ممكن ياخد Parameters

مثال 1 — Constructor بدون Parameters

Java

public class Main {
    int x;

    // ده هو الـ Constructor
    public Main() {
        x = 5; // بيحدد القيمة الابتدائية
    }

    public static void main(String[] args) {
        Main myObj = new Main(); // Constructor اتنادى هنا
        System.out.println(myObj.x);
    }
}

⚡ Output

Constructor مع Parameters

ممكن تبعت بيانات للـ Constructor وقت إنشاء الـ Object. ده بيخلي كل Object يبدأ بقيم مختلفة.

مثال 2 — Constructor مع Parameters (من المحاضرة)

Java

public class Main {
    int modelYear;
    String modelName;

    public Main(int year, String name) {
        modelYear = year;
        modelName = name;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Main myCar = new Main(1969, "Mustang");
        System.out.println(myCar.modelYear + " " + myCar.modelName);
    }
}

⚡ Output

1969 Mustang

مثال الـ Person من المحاضرة

مثال 3 — كلاس Person مع Constructor كامل

Java

public class person {
    private String fName;
    private String lName;
    private String address;
    private int    phone;

    // Constructor مع 4 parameters
    public person(String fName, String lName,
                  String address, int phone) {
        this.fName   = fName;
        this.lName   = lName;
        this.address = address;
        this.phone   = phone;
    }

    public static void main(String[] args) {
        person p = new person("Dina", "Saif", "Cairo", 1235);
        System.out.println(p.getfName());
        System.out.println(p.getlName());
        System.out.println(p.getAddress());
        System.out.println(p.getPhone() + "");
    }
}

⚡ Output

Dina Saif Cairo 1235

💡 كلمة this

كلمة this معناها "الـ Object الحالي". بنستخدمها لما يكون اسم الـ parameter زي اسم الـ attribute عشان نفرق بينهم.
this.fName = fName → اسند قيمة الـ parameter للـ attribute بتاع الـ Object الحالي.

الدرس الثالث · Lesson 03

التغليف
Encapsulation

التغليف هو إخفاء البيانات الحساسة عن المستخدم. بنخلي الـ Variables private ونوفر Methods عامة public للوصول إليها.

🔒

🔴

private

Only accessible inside the class

الـ Attributes بتبقى private = مش ممكن حد من بره الكلاس يوصلها مباشرة.

🟢

Getter

Read the value

Method عامة بترجع قيمة الـ private variable. اسمها بيبدأ بـ get.

🔵

Setter

Change the value

Method عامة بتغير قيمة الـ private variable. اسمها بيبدأ بـ set.

مثال كامل — Encapsulation مع Getter & Setter

Java

public class Person {
    // private = مش ممكن يتوصله من بره
    private String name;

    // Getter — بيرجع قيمة name
    public String getName() {
        return name;
    }

    // Setter — بيغير قيمة name
    public void setName(String newName) {
        this.name = newName;
    }
}

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Person myObj = new Person();

        // myObj.name = "John"; ← ERROR! private
        myObj.setName("John"); // ✅ صح
        System.out.println(myObj.getName()); // ✅ صح
    }
}

⚡ Output

John

مثال كامل — Person مع كل الـ Getters & Setters

كلاس Person الكامل (من المحاضرة)

Java

public class person {
    private String fName;
    private String lName;
    private String address;
    private int    phone;

    // ── Setters ──────────────────────────
    public void setfName(String fName)    { this.fName   = fName;   }
    public void setlName(String lName)    { this.lName   = lName;   }
    public void setAddress(String address) { this.address = address; }
    public void setPhone(int phone)        { this.phone   = phone;   }

    // ── Getters ──────────────────────────
    public String getfName()   { return fName;   }
    public String getlName()   { return lName;   }
    public String getAddress() { return address; }
    public int    getPhone()   { return phone;   }

    // ── Method عادية ─────────────────────
    public void printInfo() {
        System.out.println("your name is " + fName + " " + lName
            + ", you live in " + address
            + ", your phone is " + phone);
    }

    public static void main(String[] args) {
        person p = new person("Dina", "Saif", "Cairo", 12345);
        p.printInfo();
    }
}

⚡ Output

your name is Dina Saif, you live in Cairo, your phone is 12345

🎯 ليه Encapsulation مهم؟

١. حماية البيانات: مش أي حد يقدر يغير البيانات بشكل مباشر.
٢. التحكم: في الـ Setter ممكن تضيف شروط قبل ما تغير القيمة.
٣. المرونة: ممكن تغير طريقة تخزين البيانات من جوه من غير ما تأثر على باقي الكود.

الدرس الرابع · Lesson 04

الوراثة
Inheritance

زي ما الابن بيرث من أبوه، الكلاس Child بيرث كل Attributes وMethods من الكلاس Parent. بنستخدم كلمة extends.

🧬

class Person (Parent)

🔴 private String name
🔴 private String personId
─────────────────
🟢 getName()
🟢 getPersonId()
🟢 printInfo()

extends — الوراثة

class Employee extends Person (Child)

🔴 private String title
🔴 private double salary
─────────────────
🟢 getTitle()
🟢 getSalary()
🟢 printInfo() (Override)

مثال — Person وEmployee بالوراثة (من المحاضرة)

Java

// ── الكلاس Parent ───────────────────────────────────
public class person {
    private String fName, lName, address;
    private int phone;

    public person(String fName, String lName,
                  String address, int phone) {
        this.fName = fName; this.lName = lName;
        this.address = address; this.phone = phone;
    }

    public void printInfo() {
        System.out.println("your name is " + fName + " " + lName
            + ", you live in " + address
            + ", your phone is " + phone);
    }
}

// ── الكلاس Child (Employee) ──────────────────────────
public class employee extends person {
    private String title;
    private double salary;

    public employee(String title, double salary,
                    String fName, String lName,
                    String address, int phone) {
        super(fName, lName, address, phone); // نادي Constructor الـ Parent
        this.title  = title;
        this.salary = salary;
    }

    // Override — إعادة كتابة printInfo
    @Override
    public void printInfo() {
        super.printInfo(); // نادي نسخة الـ Parent الأول
        System.out.println("your title is " + title
            + ", your salary is " + salary);
    }

    public static void main(String[] args) {
        employee e = new employee(
            "Manager", 1000, "Ahmed", "Samir", "Alex", 1234);
        e.printInfo();
    }
}

⚡ Output

your name is Ahmed Samir, you live in Alex, your phone is 1234 your title is Manager, your salary is 1000.0

🔑 كلمتا super وextends

extends → بتعمل علاقة وراثة. كلاس Child يرث كل حاجة من كلاس Parent.
super() → بينادي Constructor الكلاس Parent من جوه Constructor الكلاس Child.
super.printInfo() → بينادي الـ method بتاعة الـ Parent من جوه الـ Child.

الدرس الخامس · Lesson 05

التعدد الوظيفي
Override & Overload

الـ Polymorphism بيخلي نفس الاسم يتصرف بأشكال مختلفة. فيه نوعين: Override (إعادة كتابة في الـ Child) وOverload (نفس الاسم بـ parameters مختلفة).

🔄

✏️

Override

إعادة كتابة Method في Child

الكلاس Child بيكتب Method بنفس الاسم بتاع الـ Parent بس بمحتوى مختلف. بنحط @Override قبلها.

📋

Overload

نفس الاسم بـ Parameters مختلفة

في نفس الكلاس، ممكن يكون عندك أكتر من Method بنفس الاسم بس بعدد أو نوع مختلف في الـ Parameters.

Override + Overload معًا (من المحاضرة)

Java

public class employee extends person {
    private String title;
    private double salary;

    // ── OVERRIDE — نفس الاسم من الـ Parent ─────────────
    @Override
    public void printInfo() {
        super.printInfo();
        System.out.println("your title is " + title
            + ", your salary is " + salary);
    }

    // ── OVERLOAD — نفس الاسم بـ parameter مختلف ────────
    public void printInfo(String t) {
        setTitle(t); // غير الـ title الأول
        super.printInfo();
        System.out.println("your title is " + getTitle()
            + ", your salary is " + salary);
    }

    public static void main(String[] args) {
        employee e = new employee(
            "Manager", 1000, "Ahmed", "Samir", "Alex", 1234);

        // Overload — بيغير الـ title لـ "Teacher"
        e.printInfo("Teacher");
    }
}

⚡ Output

your name is Ahmed Samir, you live in Alex, your phone is 1234 your title is Teacher, your salary is 1000.0

الفرق	Override	Overload
أين بيحصل؟	بين Parent وChild	في نفس الكلاس
اسم الـ Method	نفس الاسم	نفس الاسم
الـ Parameters	نفس Parameters الـ Parent	مختلفة
كلمة مساعدة	@Override	لا يوجد

محاضرة 10 · Lecture 10

مثال الأشكال الهندسية
Shape, Rectangle, Square, Circle

تصميم كلاس Shape كـ Parent، وكلاسات Rectangle وSquare وCircle كـ Subclasses. كل كلاس بـ @Override لـ getArea() وgetPerimeter().

🔷

class Shape (Parent)

🟢 getArea(): double
🟢 getPerimeter(): double
🟢 displayInfo()

extends — الوراثة

Rectangle

🔴 length, width
🟢 getArea()
🟢 getPerimeter()

Square

🔴 side
🟢 getArea()
🟢 getPerimeter()

Circle

🔴 radius
🟢 getArea()
🟢 getPerimeter()

1️⃣ الكلاس الـ Parent — Shape

الكلاس الأساسي بيحدد الـ methods اللي المفروض كل شكل يـ Override فيها.

Shape.java — الكلاس الـ Parent

Java

public class Shape {

    // بترجع المساحة — هيتـ Override في كل شكل
    public double getArea() {
        return 0;
    }

    // بترجع المحيط — هيتـ Override في كل شكل
    public double getPerimeter() {
        return 0;
    }

    // بتطبع نوع الشكل تلقائيًا
    public void displayInfo() {
        System.out.println("Shape Type: " + this.getClass().getSimpleName());
    }
}

⚡ Output لو نادينا displayInfo()

Shape Type: Rectangle Shape Type: Square Shape Type: Circle

2️⃣ Rectangle — مستطيل

Rectangle.java

Java

public class Rectangle extends Shape {
    protected double length;
    protected double width;

    public Rectangle(double length, double width) {
        this.length = length;
        this.width  = width;
    }

    @Override
    public double getArea() {
        return length * width; // مساحة = طول × عرض
    }

    @Override
    public double getPerimeter() {
        return 2 * (length + width); // محيط = 2 × (طول + عرض)
    }
}

⚡ Output — Rectangle(10, 5)

Area: 50.0 Perimeter: 30.0

3️⃣ Square — مربع

Square.java

Java

public class Square extends Shape {
    private double side;

    public Square(double side) {
        this.side = side;
    }

    @Override
    public double getArea() {
        return side * side; // مساحة = ضلع²
    }

    @Override
    public double getPerimeter() {
        return 4 * side; // محيط = 4 × ضلع
    }
}

⚡ Output — Square(6)

Area: 36.0 Perimeter: 24.0

4️⃣ Circle — دائرة

Circle.java

Java

public class Circle extends Shape {
    private double radius;

    public Circle(double radius) {
        this.radius = radius;
    }

    @Override
    public double getArea() {
        return Math.PI * radius * radius; // π × r²
    }

    @Override
    public double getPerimeter() {
        return 2 * Math.PI * radius; // 2 × π × r
    }
}

⚡ Output — Circle(4)

Area: 50.265482... Perimeter: 25.132741...

5️⃣ الـ Main — Polymorphism في العمل 🔥

ممكن نحط أوبجكتات مختلفة في Array من نوع Shape، ولما نكلم getArea() كل أوبجكت هيرد بالطريقة بتاعته!

Main.java — Polymorphism مع Shape Array

Java

Shape[] shapes = {
    new Rectangle(10, 5),
    new Circle(4),
    new Square(6)
};

// كل عنصر بيتصرف بأسلوبه الخاص — ده هو Polymorphism
for (Shape s : shapes) {
    System.out.println(s.getArea());
}

⚡ Output

50.0 50.265482457436690 36.0

💡 نقطة مهمة — Shape vs Rectangle Reference

Shape s1 = new Rectangle(10, 5); → ممكن تستخدم methods الـ Shape فقط ❌ مش ممكن تستخدم getLength()
Rectangle r1 = new Rectangle(10, 5); → ممكن تستخدم كل حاجة ✅ Shape + Rectangle-specific methods

السبب: النوع اللي بتعرفه بيحدد إيه اللي ممكن تناديه، مش النوع الفعلي للأوبجكت.

محاضرة 11 · Lecture 11

نظام البنك
Bank Account System

مثال كامل على Inheritance وMethod Overloading وMethod Overriding معًا. BankAccount هو الـ Superclass، وCheckingAccount وSavingsAccount هم الـ Subclasses.

🏦

🔁

Overloading

نفس الاسم — Parameters مختلفة

في نفس الكلاس، نفس اسم الـ Method بس بعدد أو نوع مختلف في الـ Parameters. الـ Return type مش بيفرق.

✏️

Overriding

إعادة كتابة Method في Child

الكلاس Child بيكتب Method بنفس اسم وـ signature بتاعة الـ Parent. لازم نحط @Override. بيدعم Runtime Polymorphism.

⚠️

الفرق المهم

Correct vs Incorrect Overriding

لو غيرت أي حاجة في الـ parameters، مش بتـ Override — بتعمل Method جديدة! الـ Compiler هيديك error لو حطيت @Override غلط.

مثال Overloading — Calculator

نفس اسم الـ method add بـ 3 نسخ مختلفة في نفس الكلاس.

Calculator.java — Method Overloading

Java

class Calculator {

    // نسخة 1 — رقمين int
    public int add(int a, int b) {
        return a + b;
    }

    // نسخة 2 — تلاتة أرقام int (Overload)
    public int add(int a, int b, int c) {
        return a + b + c;
    }

    // نسخة 3 — رقمين double (Overload)
    public double add(double a, double b) {
        return a + b;
    }
}

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Calculator calc = new Calculator();
        System.out.println(calc.add(2, 3));       // نسخة 1
        System.out.println(calc.add(2, 3, 4));    // نسخة 2
        System.out.println(calc.add(2.5, 3.5));  // نسخة 3
    }
}

⚡ Output

5 9 6.0

📋 قواعد الـ Overloading

1. نفس اسم الـ Method — لازم الاسم يكون واحد.
2. Parameters مختلفة — إما عدد مختلف أو نوع مختلف.
3. الـ Return Type مش بيأثر — مش ممكن تـ overload بس بسبب الـ return type.

مثال Overriding — Animal & Dog

✅

Override صح

Correct Overriding

نفس الاسم + نفس الـ return type + نفس الـ parameters. Java بتقبله وبتعمله Override فعلي.

❌

Override غلط

Incorrect Overriding

لو غيرت الـ parameters، ده مش Override — ده Overload! الـ Compiler هيديك error لو حطيت @Override.

Override صح ✅ — Animal & Dog

Java

class Animal {
    public void sound() {
        System.out.println("Animal makes a sound");
    }
}

class Dog extends Animal {
    @Override  // ✅ صح — نفس الاسم ونفس الـ parameters
    public void sound() {
        System.out.println("Dog barks");
    }
}

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Animal myAnimal = new Animal();
        Animal myDog    = new Dog(); // Runtime Polymorphism

        myAnimal.sound(); // Animal makes a sound
        myDog.sound();    // Dog barks
    }
}

⚡ Output

Animal makes a sound Dog barks

🏦 مثال البنك الكامل

BankAccount (Parent)

🔴 balance: double
🔴 accountHolder: String
─────────────────
🟢 getBalance() / setBalance()
🟢 getAccountHolder() / setAccountHolder()
🟢 deposit(amount)
🟢 withdraw(amount)

extends — الوراثة

CheckingAccount

🔴 fee: double
🟢 withdraw(amount) [Override]

SavingsAccount

🔴 interestRate: double
🟢 applyInterest()
🟢 deposit(amount) [Overload]
🟢 deposit(amount, isPercentage)

BankAccount.java — Superclass

Java

class BankAccount {
    protected double balance;
    protected String accountHolder;

    public BankAccount(String accountHolder, double balance) {
        this.accountHolder = accountHolder;
        this.balance        = balance;
    }

    // ── Getters & Setters ──────────────────
    public String getAccountHolder() { return accountHolder; }
    public void   setAccountHolder(String a) { this.accountHolder = a; }
    public double getBalance() { return balance; }
    public void   setBalance(double b) { this.balance = b; }

    // ── Deposit ────────────────────────────
    public void deposit(double amount) {
        if (amount > 0) {
            balance += amount;
            System.out.println("$" + amount + " deposited. New balance: $" + balance);
        } else {
            System.out.println("Deposit amount must be greater than zero.");
        }
    }

    // ── Withdraw ───────────────────────────
    public void withdraw(double amount) {
        if (amount > 0 && amount <= balance) {
            balance -= amount;
            System.out.println("$" + amount + " withdrawn. Remaining balance: $" + balance);
        } else {
            System.out.println("Insufficient balance or invalid amount.");
        }
    }
}

CheckingAccount — Method Override 🔴

بيـ Override الـ withdraw عشان يخصم fee إضافية مع كل سحب.

CheckingAccount.java — Method Overriding

Java

class CheckingAccount extends BankAccount {
    private double fee;

    public CheckingAccount(String accountHolder, double balance, double fee) {
        super(accountHolder, balance); // نادي Constructor الـ Parent
        this.fee = fee;
    }

    // Override — بيخصم المبلغ + الـ fee
    @Override
    public void withdraw(double amount) {
        double totalAmount = amount + fee;
        if (totalAmount <= balance) {
            balance -= totalAmount;
            System.out.println("$" + amount + " withdrawn with a fee of $" + fee
                + ". Remaining balance: $" + balance);
        } else {
            System.out.println("Insufficient balance for withdrawal and fee.");
        }
    }
}

⚡ Output — checking.withdraw(200)

$200.0 withdrawn with a fee of $2.5. Remaining balance: $1297.5

SavingsAccount — Method Overload 🟢

بيـ Overload الـ deposit عشان يقبل إيداع عادي أو نسبة مئوية من الرصيد.

SavingsAccount.java — Method Overloading + applyInterest

Java

class SavingsAccount extends BankAccount {
    private double interestRate;

    public SavingsAccount(String accountHolder, double balance, double interestRate) {
        super(accountHolder, balance);
        this.interestRate = interestRate;
    }

    // Overload 1 — إيداع عادي
    public void deposit(double amount) {
        super.deposit(amount); // نادي نسخة الـ Parent
    }

    // Overload 2 — إيداع كنسبة من الرصيد
    public void deposit(double amount, boolean isPercentage) {
        if (isPercentage) {
            amount = balance * (amount / 100); // احسب نسبة من الرصيد
        }
        super.deposit(amount);
    }

    // applyInterest — بيضيف الفايدة على الرصيد
    public void applyInterest() {
        double interest = balance * (interestRate / 100);
        balance += interest;
        System.out.println("Interest applied: $" + interest
            + ". New balance: $" + balance);
    }
}

الـ Main — اختبار كل حاجة

Main.java — اختبار البنك كامل

Java

public class Main {
    public static void main(String[] args) {

        // ── Checking Account ──────────────────────────────
        CheckingAccount checking = new CheckingAccount("John Doe", 1000, 2.50);
        checking.deposit(500);    // إيداع عادي
        checking.withdraw(200);   // سحب + fee

        System.out.println();      // سطر فاضي

        // ── Savings Account ───────────────────────────────
        SavingsAccount savings = new SavingsAccount("Jane Doe", 1500, 5);
        savings.deposit(100);         // Overload 1 — إيداع عادي
        savings.deposit(10, true);   // Overload 2 — 10% من الرصيد
        savings.applyInterest();      // تطبيق الفايدة
    }
}

⚡ Output

$500.0 deposited. New balance: $1500.0 $200.0 withdrawn with a fee of $2.5. Remaining balance: $1297.5 $100.0 deposited. New balance: $1600.0 $160.0 deposited. New balance: $1760.0 Interest applied: $88.0. New balance: $1848.0

المفهوم	يحصل فين؟	الـ Parameters	مثال في البنك
Overloading	في نفس الكلاس	مختلفة	deposit(amount) و deposit(amount, isPercentage)
Overriding	Parent → Child	نفس الـ signature	withdraw() في CheckingAccount
Inheritance	بين الكلاسات	—	CheckingAccount extends BankAccount

اختبر نفسك · Quiz

اختبار تفاعلي 🧠
30 سؤال على المحاضرات الأربعة

الأسئلة بتغطي Class & Object وEncapsulation وInheritance وPolymorphism. اضغط على الإجابة الصح!

🎯

التقدم:

0 / 30

📦 القسم الأول — Class & Object (أسئلة 1-8)

Q1. ما هو الـ output لهذا الكود؟

💡 توضيح: عندنا كلاس اسمه Main فيه متغير x قيمته 5، بننشئ منه Object ونطبع قيمة x.

public class Main {
    int x = 5;
    public static void main(String[] args) {
        Main myObj = new Main();
        System.out.println(myObj.x);
    }
}

Q2. إيه الفرق بين الـ Class والـ Object؟

💡 توضيح: سؤال نظري مهم — الـ Class هو القالب والـ Object هو النسخة الفعلية منه.

Q3. ما هو الـ output؟

💡 توضيح: بننشئ أوبجكتين من نفس الكلاس، وبنغير قيمة x في myObj2 بس. كل Object مستقل عن التاني.

Main myObj1 = new Main();
Main myObj2 = new Main();
myObj2.x = 25;
System.out.println(myObj1.x);
System.out.println(myObj2.x);

Q4. إيه اللي بيتحدد في الـ Constructor؟

💡 توضيح: الـ Constructor دالة خاصة بتتنادى تلقائيًا لما بنعمل Object جديد بكلمة new.

Q5. ما هو الـ output؟

💡 توضيح: الـ Constructor اسمه لازم يكون نفس اسم الكلاس بالظبط، ومفيش return type.

public class Main {
    int modelYear;
    String modelName;
    public Main(int year, String name) {
        modelYear = year;
        modelName = name;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Main myCar = new Main(1969, "Mustang");
        System.out.println(myCar.modelYear + " " + myCar.modelName);
    }
}

Q6. كلمة this في Java بتعمل إيه؟

💡 توضيح: بنستخدمها جوه الكلاس لما اسم الـ parameter بيكون زي اسم الـ attribute عشان نفرق بينهم.

Q7. إيه الفرق بين static وpublic method؟

💡 توضيح: من محاضرة 10 — الـ static ممكن تناديه من غير ما تعمل Object، لكن الـ public لازم تعمل Object الأول.

Q8. إيه الـ output؟

💡 توضيح: الـ int array لما بنعمله بـ new، كل عناصره بتتحط فيها القيمة الافتراضية 0 تلقائيًا.

int[] numbers = new int[5];
System.out.println(numbers[0]);

🔒 القسم الثاني — Encapsulation (أسئلة 9-15)

Q9. الـ Encapsulation بيخلي الـ Attributes تبقى إيه؟

💡 توضيح: الهدف من الـ Encapsulation هو إخفاء البيانات الحساسة عن المستخدم عن طريق جعل المتغيرات private.

Q10. إيه وظيفة الـ Getter method؟

💡 توضيح: في الـ Encapsulation بنستخدم Getters للقراءة وSetters للتعديل بدل الوصول المباشر للمتغيرات الـ private.

Q11. إيه الـ output؟

💡 توضيح: الـ name متغير private، مش ممكن نوصله مباشرة من برا الكلاس — لازم نستخدم الـ setter ثم الـ getter.

Person myObj = new Person();
myObj.setName("John");
System.out.println(myObj.getName());

Q12. لو عندنا private String name; في كلاس Person، إيه اللي هيحصل لو كتبنا من برا الكلاس: myObj.name = "Ahmed";؟

💡 توضيح: الكلمة private معناها إن المتغير ده مش ممكن أي حد من برا الكلاس يوصله مباشرة.

Q13. الـ Setter method وظيفتها إيه؟

💡 توضيح: في الـ Encapsulation، الـ Setter هو الوحيد المسموح له يغير قيمة الـ private variable.

Q14. اسم الـ Getter لمتغير اسمه fName بيبدأ بإيه؟

💡 توضيح: الـ Convention في Java إن الـ Getter اسمه بيبدأ بـ get ثم اسم المتغير.

Q15. إيه هو الهدف الرئيسي من الـ Encapsulation؟

💡 توضيح: الـ Encapsulation بيحمي البيانات من التعديل المباشر غير المقصود ويحقق مبدأ الـ Data Hiding.

🧬 القسم الثالث — Inheritance & Shapes (أسئلة 16-23)

Q16. أنهي keyword بنستخدمها في الـ Inheritance في Java؟

💡 توضيح: في Java بنستخدم كلمة معينة عشان نقول إن الكلاس ده وارث من كلاس تاني.

Q17. الكلاس Child بيرث إيه من الكلاس Parent؟

💡 توضيح: الـ Inheritance بيخلي الكلاس الجديد يكسب كل حاجة موجودة في الكلاس الأصلي بدون ما يكتبها من أول.

Q18. كلمة super() في الـ Constructor بتعمل إيه؟

💡 توضيح: من مثال employee — الـ Child Constructor لازم ينادي Constructor الـ Parent عشان يحدد قيمه الموروثة.

Q19. في مثال الـ Shapes — إيه الـ output لو نادينا new Rectangle(10, 5).getArea()؟

💡 توضيح: مساحة المستطيل = طول × عرض. الـ Rectangle بترث من Shape وبتـ Override الـ getArea().

Q20. إيه محيط المربع لو الـ side = 6؟

💡 توضيح: محيط المربع = 4 × الضلع. من مثال Square في محاضرة 10.

Q21. إيه الـ output؟

💡 توضيح: مثال من محاضرة 10 — لما بنعرف المتغير من نوع Shape لكن بننشئ Rectangle، بينادي override بتاع Rectangle.

Shape s1 = new Rectangle(10, 5);
System.out.println(s1.getArea());

Q22. لو عندنا Shape s1 = new Rectangle(10, 5); ونادينا s1.getLength(); — إيه اللي هيحصل؟

💡 توضيح: من محاضرة 10 — لما بنعرف المتغير بنوع الـ Parent، مش ممكن نستخدم الـ methods الخاصة بالـ Child.

Q23. إيه اللي بيحصل لما بننادي s.getArea() على Shape array فيها Rectangle وCircle وSquare؟

💡 توضيح: ده مثال على الـ Polymorphism — كل Object بيتصرف بطريقته الخاصة وإن كانوا كلهم Shape.

🔄 القسم الرابع — Polymorphism & Bank System (أسئلة 24-30)

Q24. إيه الفرق بين Overriding وOverloading؟

💡 توضيح: الفرق الجوهري — الـ Override بيحصل بين كلاسين (Parent/Child)، والـ Overload بيحصل في نفس الكلاس.

Q25. إيه الـ output؟

💡 توضيح: مثال من محاضرة 11 — myDog من نوع Animal لكن Object بتاعه Dog، فبينادي الـ Override بتاع Dog.

Animal myAnimal = new Animal();
Animal myDog = new Dog();
myAnimal.sound();
myDog.sound();

Q26. الـ @Override annotation بتعمل إيه؟

💡 توضيح: من محاضرة 11 — لو حطيت @Override وعملت الـ Override غلط، الـ Compiler هيديك error فورًا.

Q27. في مثال الـ Calculator — إيه الـ output؟

💡 توضيح: مثال Overloading من محاضرة 11 — نفس اسم الـ method لكن بـ parameters مختلفة.

Calculator calc = new Calculator();
System.out.println(calc.add(2, 3));
System.out.println(calc.add(2, 3, 4));

Q28. في مثال البنك — الـ CheckingAccount بيـ Override أنهي method؟

💡 توضيح: الـ CheckingAccount وارث من BankAccount ومحتاج يغير سلوك الـ withdraw عشان يضيف الـ fee.

Q29. في مثال البنك — savings.deposit(10, true); بتعمل إيه لو الرصيد 1500؟

💡 توضيح: من محاضرة 11 — الـ SavingsAccount بتـ Overload الـ deposit لتقبل نسبة مئوية. لو isPercentage=true، بتحسب amount = balance × (amount / 100).

Q30. ممكن نـ Overload Method بس بسبب الـ Return Type المختلف من غير ما نغير الـ parameters؟

💡 توضيح: قاعدة مهمة من محاضرة 11 — الـ Return type مش جزء من الـ method signature، فمش بيأثر على الـ Overloading.

🎓

Exam Questions

أسئلة الامتحان — الأسئلة بالإنجليزي والتوضيح بالعربي بعد الإجابة

Score: 0 / 0

🏆

Final Bank

بنك الأسئلة النهائي — 260 سؤال MCQ · البرمجة الهيكلية · Java

Score: 0 / 260

LECTURE 01

Lecture 1: Introduction to Probability — أساسيات الاحتمال

١. التجربة العشوائية — Random Experiment

Definition: Any process of observation is an experiment. Its results are called outcomes. An experiment is random if its outcome cannot be predicted in advance.

Examples: Rolling a die (1–6) | Tossing a coin (H/T) | Drawing a card from a deck

التعريف: أي عملية ملاحظة = تجربة. نتائجها = مخرجات. التجربة عشوائية لو مش قادرين نتنبأ بنتيجتها مسبقاً.
أمثلة: رمي الزهر (1–6) | رمي العملة (H/T) | سحب كارت من ورق اللعب

٢. فضاء العينة — Sample Space (S)

Definition: The set of ALL possible outcomes = Sample Space S.

Rolling a die: S = {1,2,3,4,5,6} | Tossing a coin: S = {H,T} | Real numbers -1 to 5: S = {x : -1 < x < 5}

مجموعة كل النتائج الممكنة = فضاء العينة S

أنواع فضاء العينة:

Discrete: Finite OR countably infinite points. Ex: S={1,2,3,4,5,6}
Continuous: Points on an interval. Ex: S={x: -1 < x < 5}

متقطع (Discrete): عدد محدود أو لانهائي قابل للعد | متصل (Continuous): نقاط على فترة (interval)

٣. الفئات والأحداث — Sets & Events

Set: A well-defined collection of objects. Ex: Days = {Sat, Sun, Mon, Tue, Wed, Thu, Fri}
Event (Subset): Any subset of the sample space. Ex: {Sat, Sun} ⊆ Days
Null Set Ø: Empty set — subset of every set.
Key fact: A set of n elements has 2ⁿ subsets.

الفئة (Set): مجموعة محددة من الأشياء | الحدث / الفئة الجزئية: جزء من فضاء العينة
المجموعة الخالية Ø: مفيهاش أي عنصر | مجموعة n عنصر = 2ⁿ فئة جزئية

٤. العمليات على المجموعات — Set Operations

التقاطع — Intersection (A ∩ B)

Elements common to both A and B.

العناصر المشتركة في المجموعتين.

A = {1,2,3,4} , B = {1,2,5,6} → A ∩ B = {1,2}

الاتحاد — Union (A ∪ B)

All elements in A or B or both (no repetition).

كل العناصر في المجموعتين بدون تكرار.

A = {1,3,5,7} , B = {1,8,15,20} → A ∪ B = {1,3,5,7,8,15,20}

المتممة — Complement (Ā)

Elements in S that are NOT in A.

العناصر اللي في S ومش موجودة في A.

S = {5,10,15,18,20,38} , A = {5,10,15,20} → Ā = {18,38}

الفرق — Difference (A − B)

Elements in A that are NOT in B.

A = {1,2,3,4} , B = {1,2,5,6} → A−B = {3,4} , B−A = {5,6}

المنفصلتان — Mutually Exclusive (Disjoint)

Two sets with NO common elements: A ∩ B = Ø

A = {10,20,30} , B = {100,200,300} → A ∩ B = Ø

٥. القوانين المهمة — Important Laws

A ∩ Ø = Ø   |   A ∪ Ø = A   |   A ∩ Ā = Ø   |   A ∪ Ā = S
S̄ = Ø   |   Ø̄ = S   |   S ∩ A = A   |   S ∪ A = S

Commutative: A ∪ B = B ∪ A   |   A ∩ B = B ∩ A
Associative:    A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C   |   A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Distributive: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
                      A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
De Morgan:    (A ∩ B)' = A' ∪ B'   |   (A ∪ B)' = A' ∩ B'

٦. أشكال فن وأشجار القرار — Venn Diagrams & Tree Diagrams

Venn Diagrams: Rectangle = sample space S. Circles = events. Show intersection, union, complement visually.
Ex: S={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,2,4,7}, B={1,2,3,6} → A∩B = {1,2} = shaded overlap.

أشكال فن: مستطيل = فضاء العينة S، دواير = الأحداث. بنشوف فيها التقاطع والاتحاد والمتممة.

Tree Diagrams: Show all outcomes of sequential experiments as branches.
Ex: Coin tossed twice → S = {HH, HT, TH, TT} (4 outcomes)
Ex2: Head→toss again; Tail→roll die → S = {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6} (8 outcomes)

أشجار القرار: كل فرع = نتيجة ممكنة. مفيدة في التجارب المتتابعة.

📌 مثال محلول كامل — Worked Example

EXAMPLE — SET OPERATIONS

S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={0,2,4,6,8,10}, B={1,3,5,7,9}, C={2,3,4}, D={8,9}

1. A∪C = {0,2,3,4,6,8,10}
2. A∩B = Ø (A is even, B is odd — no common elements)
3. C̄ = {0,1,5,6,7,8,9,10}
4. (C̄∩D)∪B: C̄∩D={8,9} → result = {1,3,5,7,8,9}
5. A∩C∩D̄: A∩C={2,4}, D̄={0,1,2,3,4,5,6,7,10} → result = {2,4}

📝 ملخص المحاضرة الأولى للمذاكرة

01 — RANDOM EXPERIMENT

➤ التجربة العشوائية = أي عملية مش عارفين نتوقع نتيجتها زي رمي الزهر أو العملة
➤ المخرج (Outcome) = النتيجة الواحدة — الحدث (Event) = مجموعة مخرجات
➤ فضاء العينة S = كل النتائج الممكنة — زهر: S={1,2,3,4,5,6}

02 — SAMPLE SPACE TYPES

➤ Discrete Finite: عدد محدود — زي S={1,2,3,4,5,6}
➤ Discrete Infinite: لانهائي قابل للعد — زي S={...-2,-1,0,1,2,...}
➤ Continuous: فترة متصلة — زي S={x: -1 < x < 5}
➤ مجموعة n عنصر = 2ⁿ فئة جزئية (مهم للامتحان!)

03 — SET OPERATIONS (اتحفظهم كلهم!)

➤ A ∩ B (التقاطع): العناصر المشتركة بين A و B
➤ A ∪ B (الاتحاد): كل عناصر A و B بدون تكرار
➤ Ā (المتممة): كل حاجة في S ومش في A
➤ A−B (الفرق): عناصر A اللي مش في B
➤ Disjoint: A∩B = Ø يعني مفيش عناصر مشتركة خالص

04 — DE MORGAN'S LAWS (الأهم!)

➤ (A ∩ B)' = A' ∪ B' ← متممة التقاطع = اتحاد المتممات
➤ (A ∪ B)' = A' ∩ B' ← متممة الاتحاد = تقاطع المتممات
➤ قاعدة ذهبية: لما بتاخد متممة لـ Union اتحول لـ Intersection والعكس!

05 — KEY IDENTITIES

➤ A ∪ Ā = S | A ∩ Ā = Ø | S̄ = Ø | Ø̄ = S
➤ S ∩ A = A | S ∪ A = S | A ∩ Ø = Ø | A ∪ Ø = A
➤ أشكال فن: مستطيل = S، دواير = أحداث. رسمها في الامتحان بيفيد جداً!

06 — TREE DIAGRAMS

➤ لتجارب متتابعة: ارسم شجرة — كل فرع = نتيجة محتملة
➤ عملة مرتين = 2×2 = 4 نتائج: {HH, HT, TH, TT}
➤ لو H → عملة تاني، T → زهر: نتائج = {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6} = 8 نتائج

🎯 Quiz — Lecture 1

20 QUESTIONS

Q 01 / 20

What is a random experiment?

💡 EXPLANATION

التجربة العشوائية هي اللي مش بنقدر نتوقع نتيجتها مسبقاً — زي رمي العملة أو الزهر.

Q 02 / 20

What is the sample space of rolling a die once?

💡 EXPLANATION

فضاء العينة لرمي الزهر = كل الأرقام الممكنة = {1,2,3,4,5,6}

Q 03 / 20

The sample space of tossing a coin once is:

💡 EXPLANATION

رمي العملة مرة واحدة = {H, T} — ملك أو كتابة فقط.

Q 04 / 20

S = {1,2,3,4,5,6} is considered:

💡 EXPLANATION

فضاء العينة ده متقطع ومحدود (Discrete Finite) لأن عناصره معدودة ومحدودة.

Q 05 / 20

The null set Ø is:

💡 EXPLANATION

المجموعة الخالية Ø = مجموعة فارغة مفيهاش أي عنصر على الإطلاق.

Q 06 / 20

A set of 3 elements has how many subsets?

💡 EXPLANATION

عدد الفئات الجزئية = 2^n = 2^3 = 8. كل مجموعة بها n عنصر = 2^n فئة جزئية.

Q 07 / 20

If A={1,2,3} and B={2,3,4}, then A ∩ B =

💡 EXPLANATION

التقاطع = العناصر المشتركة بين A و B = {2,3}

Q 08 / 20

If A={1,2,3} and B={2,3,4}, then A ∪ B =

💡 EXPLANATION

الاتحاد = كل العناصر في المجموعتين بدون تكرار = {1,2,3,4}

Q 09 / 20

If S={1,2,3,4,5} and A={1,3,5}, then Ā =

💡 EXPLANATION

المتممة Ā = عناصر S اللي مش موجودة في A = {2,4}

Q 10 / 20

A ∩ B = Ø means:

💡 EXPLANATION

لما التقاطع = Ø يعني المجموعتين منفصلتان (Mutually Exclusive) — مفيش عناصر مشتركة بينهم.

Q 11 / 20

(A ∩ B)' equals (De Morgan's Law):

💡 EXPLANATION

قانون دي مورجان الأول: متممة التقاطع = اتحاد المتممات — (A∩B)' = A'∪B'

Q 12 / 20

(A ∪ B)' equals (De Morgan's Law):

💡 EXPLANATION

قانون دي مورجان الثاني: متممة الاتحاد = تقاطع المتممات — (A∪B)' = A'∩B'

Q 13 / 20

S' (complement of sample space) =

💡 EXPLANATION

متممة فضاء العينة = المجموعة الخالية Ø لأن كل العناصر موجودة في S.

Q 14 / 20

Ø' (complement of null set) =

💡 EXPLANATION

متممة المجموعة الخالية = فضاء العينة S (لأن كل العناصر مش موجودة في Ø).

Q 15 / 20

If A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, then A−B =

💡 EXPLANATION

A−B = عناصر A اللي مش موجودة في B = {1,2} (3 و4 موجودين في B فبيتشالوا).

Q 16 / 20

In Venn diagrams, the rectangle represents:

💡 EXPLANATION

في مخططات فن: المستطيل = فضاء العينة S، والدواير = الأحداث (Events).

Q 17 / 20

Tossing a coin twice gives a sample space of:

💡 EXPLANATION

رمي العملة مرتين = {HH, HT, TH, TT} = 4 نتائج.

Q 18 / 20

A ∪ Ā always equals:

💡 EXPLANATION

اتحاد أي مجموعة مع متممتها = S دايماً (لأنهم بيغطوا كل فضاء العينة).

Q 19 / 20

A ∩ Ā always equals:

💡 EXPLANATION

تقاطع أي مجموعة مع متممتها = Ø دايماً (مفيش عنصر في المجموعة ومتممتها في نفس الوقت).

Q 20 / 20

S ∩ A equals:

💡 EXPLANATION

تقاطع فضاء العينة مع A = A نفسها — لأن A جزء من S، فالمشترك بينهم = A.

🎉

0/20

Arabic explanation shown for each answer above ↑

LECTURE 02

Lecture 2: Counting Techniques — تقنيات العد

١. مقدمة — Introduction

In complex experiments, listing all outcomes is impractical. Counting techniques let us calculate the number of outcomes without writing them all.

في التجارب المعقدة، بيبقى صعب نكتب كل المخرجات. تقنيات العد بتخلينا نحسب العدد من غير ما نكتب كل حاجة.

٢. قاعدة الضرب — Multiplication Rule

If a procedure has k sequential tasks where task i can be done in nᵢ ways:

Total = n₁ × n₂ × ... × nₖ

لو عندك k مهمة متتابعة، اضرب عدد الاختيارات في بعض.

EXAMPLES

• Pair of dice: 6 × 6 = 36 outcomes
• Website: 4 colors × 3 fonts × 3 positions = 36 designs
• 10 T/F questions: 2¹⁰ = 1,024 ways
• Bit strings length 3: 2³ = 8
• Bit string length 5, start & end with 1: 1×2×2×2×1 = 8
• License plates (3 letters + 3 digits): 26³ × 10³ = 17,576,000

٣. التباديل — Permutations

A permutation is an ordered arrangement. Order MATTERS!

التبديل = ترتيب منظم. الترتيب مهم! ABC ≠ BAC

n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1

ⁿPᵣ = n! / (n−r)! (r elements from n, order matters)

EXAMPLES

• Permutations of {a,b,c,d,e}, choose 3: ⁵P₃ = 5!/2! = 60
• 3 different awards to 25 students: ²⁵P₃ = 25×24×23 = 13,800

تباديل المتشابهات — Permutations of Similar Objects

When identical elements exist, divide by the factorials of each group's count:

n! / (n₁! × n₂! × ... × nᵣ!)

EXAMPLE

20 students (12 boys + 8 girls), arranged by type:
20! / (12! × 8!) = 125,970

٤. التوافيق — Combinations

A combination is a selection where order does NOT matter. {A,B} = {B,A}

التوفيق = اختيار بدون ترتيب. الترتيب مش مهم. {أحمد،محمد} = {محمد،أحمد}

ⁿCᵣ = C(n,r) = n! / [r! × (n−r)!]

EXAMPLES

• 3 balls from 10: C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 120
• 3 from 7 graduates: C(7,3) = 7!/(3!×4!) = 35
• 6 parts from 50: C(50,6) = 15,890,700

📊 جدول المقارنة — Summary Table

Method	Formula	When to Use
Multiplication Rule	n₁ × n₂ × ... × nₖ	Sequential tasks
Permutation (all n)	n!	Arrange ALL, order matters
Permutation (r from n)	n! / (n−r)!	Choose r, order matters
Perm. of Similar Objects	n! / (n₁!×n₂!×...)	Identical elements exist
Combination	n! / [r!(n−r)!]	Choose r, order does NOT matter

📝 ملخص المحاضرة الثانية للمذاكرة

01 — MULTIPLICATION RULE (قاعدة الضرب)

➤ لو عندك مهام متتابعة → اضرب عدد الاختيارات في بعض
➤ 3 قمصان × 4 بناطيل = 12 طقم
➤ زهرتان = 6×6 = 36 | 10 أسئلة صح/غلط = 2¹⁰ = 1024
➤ نمبر بليت 3 حروف + 3 أرقام = 26³ × 10³ = 17,576,000

02 — FACTORIAL n! (المضروب)

➤ n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1
➤ 5! = 5×4×3×2×1 = 120 | 3! = 6 | 1! = 1 | 0! = 1 (احفظها!)
➤ بتستخدمه في التباديل والتوافيق

03 — PERMUTATIONS تباديل (الترتيب مهم!)

➤ الفرق بين ABC و BAC → ده تبديل! الترتيب بيغير الناتج
➤ كل n عنصر = n! تبديل
➤ r من n = ⁿPᵣ = n! / (n−r)!
➤ مثال: ⁵P₃ = 5!/2! = 120/2 = 60
➤ 3 جوائز مختلفة لـ 25 طالب = ²⁵P₃ = 25×24×23 = 13,800
➤ تباديل متشابهات: 12 ولد + 8 بنات = 20!/(12!×8!) = 125,970

04 — COMBINATIONS توافيق (الترتيب مش مهم!)

➤ {أحمد، محمد} = {محمد، أحمد} → ده توفيق! ما فيش فرق في الترتيب
➤ C(n,r) = n! / [r! × (n−r)!]
➤ C(10,3) = 120 | C(7,3) = 35 | C(n,0) = 1 | C(n,n) = 1
➤ قاعدة ذهبية: ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r! → التباديل دايماً أكبر من أو يساوي التوافيق

05 — HOW TO CHOOSE? (امتى تبديل وامتى توفيق؟)

➤ الترتيب فارق؟ (ABC ≠ BAC) → تباديل Permutation (عدد أكبر)
➤ الترتيب مش فارق؟ (ABC = BAC) → توافيق Combination (عدد أصغر)
➤ أمثلة تباديل: جوائز مرتبة (1st/2nd/3rd) — ترتيب الجلوس — رقم سري
➤ أمثلة توافيق: اختيار فريق — اختيار كروت — اختيار عينة

🎯 Quiz — Lecture 2

20 QUESTIONS

Q 01 / 20

Outcomes when rolling 2 dice (multiplication rule):

💡 EXPLANATION

6 × 6 = 36 نتيجة. كل زهر له 6 وجوه.

Q 02 / 20

4 colors, 3 fonts, 3 positions. How many designs?

💡 EXPLANATION

4 × 3 × 3 = 36 تصميم. بنضرب عدد الاختيارات في بعض.

Q 03 / 20

Ways to answer 10 true/false questions:

💡 EXPLANATION

2^10 = 1024. كل سؤال عنده 2 إجابات، و10 أسئلة.

Q 04 / 20

How many bit strings of length 3?

💡 EXPLANATION

2^3 = 8. كل bit إما 0 أو 1.

Q 05 / 20

Bit strings length 5, starting AND ending with 1:

💡 EXPLANATION

1 × 2 × 2 × 2 × 1 = 8. الأول والأخير محددين بـ 1، الثلاث في النص حرة.

Q 06 / 20

License plates: 3 letters + 3 digits =

💡 EXPLANATION

26³ × 10³ = 17,576 × 1000 = 17,576,000.

Q 07 / 20

5! equals:

💡 EXPLANATION

5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Q 08 / 20

0! equals:

💡 EXPLANATION

0! = 1 بالتعريف الرياضي. ده قانون محفوظ!

Q 09 / 20

Number of permutations of {a,b,c}:

💡 EXPLANATION

3! = 3×2×1 = 6 تباديل.

Q 10 / 20

⁵P₃ equals:

💡 EXPLANATION

⁵P₃ = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 120/2 = 60.

Q 11 / 20

3 different awards to 25 students:

💡 EXPLANATION

²⁵P₃ = 25×24×23 = 13,800. الجوائز مختلفة إذاً الترتيب مهم → تباديل.

Q 12 / 20

Arranging 20 students (12 boys + 8 girls) by type:

💡 EXPLANATION

20!/(12!×8!) = 125,970. متشابهات داخل كل نوع.

Q 13 / 20

C(10,3) equals:

💡 EXPLANATION

C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 120.

Q 14 / 20

C(7,3) equals:

💡 EXPLANATION

C(7,3) = 7!/(3!×4!) = 5040/(6×24) = 35.

Q 15 / 20

The key difference: permutations vs combinations:

💡 EXPLANATION

التباديل: الترتيب مهم (ABC≠BAC). التوافيق: الترتيب مش مهم (ABC=BAC).

Q 16 / 20

C(n,0) equals:

💡 EXPLANATION

C(n,0) = 1. في طريقة واحدة بس لاختيار صفر عناصر.

Q 17 / 20

C(n,n) equals:

💡 EXPLANATION

C(n,n) = 1. في طريقة واحدة بس لاختيار كل العناصر.

Q 18 / 20

C(50,6) equals:

💡 EXPLANATION

C(50,6) = 50!/(6!×44!) = 15,890,700.

Q 19 / 20

Is ⁿPᵣ always ≥ ⁿCᵣ?

💡 EXPLANATION

صح! لأن ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r! و r! ≥ 1 دايماً. التباديل دايماً أكبر من أو يساوي التوافيق.

Q 20 / 20

In the multiplication rule, tasks must be:

💡 EXPLANATION

المهام لازم تكون متتابعة (sequential) ومستقلة (independent) عشان تطبق قاعدة الضرب.

🎉

0/20

Arabic explanation shown for each answer above ↑

LECTURE 03

Lecture 3: Probability of an Event — احتمال الحدث

١. ما هو الاحتمال؟ — What is Probability?

Probability quantifies the likelihood or chance that an outcome of a random experiment will occur.
Example: "30% chance of rain" = a quantified feeling about weather.

الاحتمال بيقيس مدى إمكانية حدوث نتيجة معينة في تجربة عشوائية.
مثال: "فرصة مطر 30%" = رقم بيعبر عن احتمالية حدوث المطر.

٢. مخرجات متساوية الاحتمال — Equally Likely Outcomes

When the sample space has N equally likely outcomes, each has probability 1/N.

P(E) = n(E) / n(S) = (outcomes in E) / (total outcomes)

0 ≤ P(E) ≤ 1

EXAMPLE 1 — Prime on a Die

S={1,2,3,4,5,6}, E={2,3,5} → P(E) = 3/6 = 0.5 = 50%

الأعداد الأولية = {2,3,5} = 3 من 6 → P = 1/2

EXAMPLE 2 — At Least 1 Head in 2 Tosses

S={HH,HT,TH,TT}, E={HH,HT,TH} → P(E) = 3/4 = 0.75 = 75%

على الأقل H واحد = كل الحالات ماعدا TT = 3 من 4

٣. مخرجات غير متساوية — Not Equally Likely

When outcomes have different probabilities, sum the individual probabilities of outcomes in event E.

EXAMPLE — {a,b,c,d} with P = 0.1, 0.3, 0.5, 0.1

A={a,b}: P(A) = 0.1+0.3 = 0.4
B={b,c,d}: P(B) = 0.3+0.5+0.1 = 0.9
C={d}: P(C) = 0.1

EXAMPLE 3 — Loaded Die (even = 2× odd probability)

Let P(odd) = w each, P(even) = 2w each
Total: 3w + 3(2w) = 9w = 1 → w = 1/9
E = {x < 4} = {1,2,3}: P(E) = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9

فردي (1,3,5) = 1/9 كل واحد | زوجي (2,4,6) = 2/9 كل واحد
أرقام أقل من 4 = {1,2,3}: P = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9

٤. الاحتمال مع التوافيق — Probability with Combinations

EXAMPLE 4 — Books from a Box

Box: 5 novels + 3 math + 1 dictionary = 9 total. Pick 3.

n(S) = C(9,3) = 84

(a) P(dictionary selected):
n(E) = C(1,1)×C(8,2) = 1×28 = 28 → P = 28/84 = 1/3 ≈ 0.333

(b) P(2 novels + 1 math):
n(E) = C(5,2)×C(3,1) = 10×3 = 30 → P = 30/84 = 5/14 ≈ 0.357

(أ) اختيار القاموس: C(1,1)×C(8,2) = 28 من C(9,3)=84 → P = 1/3
(ب) 2 رواية + 1 رياضيات: C(5,2)×C(3,1) = 30 → P = 5/14

٥. بديهيات الاحتمال — Axioms of Probability

P(S) = 1   ← certain event (الحدث الأكيد — لازم حاجة تحصل)
P(Ø) = 0   ← impossible event (الحدث المستحيل)
0 ≤ P(A) ≤ 1   ← probability always between 0 and 1
P(Ā) = 1 − P(A)   ← complement rule (قاعدة المتممة)

P(S)=1: مجموع كل الاحتمالات = 1 دايماً
P(Ø)=0: المستحيل احتماله صفر
0 ≤ P(A) ≤ 1: الاحتمال بين 0 و 1 — لو طلع سالب أو >1 فيه غلط!
P(Ā) = 1 − P(A): احتمال "ما يحصلش" = 1 − احتمال "يحصل"

📝 ملخص المحاضرة الثالثة للمذاكرة

01 — WHAT IS PROBABILITY?

➤ الاحتمال = رقم بين 0 و 1 بيقيس فرصة حدوث حاجة ما
➤ القانون الأساسي: P(E) = عدد الحالات المطلوبة ÷ إجمالي الحالات الممكنة
➤ مثال: رمي زهر، P(رقم زوجي) = 3/6 = 0.5 = 50%

02 — EQUALLY LIKELY OUTCOMES

➤ لو البيئة عادلة (زهر مش مغشوش) → كل نتيجة باخد نفس الاحتمال = 1/N
➤ P(أعداد أولية على زهر) = 3/6 = 1/2 (الأولية: 2,3,5)
➤ P(على الأقل H واحد في رميتين) = 3/4 (كل الحالات ماعدا TT)

03 — NOT EQUALLY LIKELY (مخرجات غير متساوية)

➤ لو الاحتمالات مختلفة → جمع احتمالات المخرجات في الحدث
➤ زهر مغشوش (زوجي ضعف الفردي): 9w=1 → w=1/9
➤ فردي (1,3,5) = 1/9 كل واحد | زوجي (2,4,6) = 2/9 كل واحد
➤ P(x<4) = P(1)+P(2)+P(3) = 1/9+2/9+1/9 = 4/9

04 — PROBABILITY WITH COMBINATIONS

➤ لما بتختار مجموعة من مجموعة أكبر → استخدم C(n,r) في البسط والمقام
➤ n(S) = C(إجمالي, عدد الاختيار) | n(E) = حاصل ضرب C للأنواع المطلوبة
➤ مثال الكتب: n(S)=C(9,3)=84 | P(قاموس) = C(1,1)×C(8,2)/84 = 1/3
➤ P(روايتان+رياضيات) = C(5,2)×C(3,1)/84 = 30/84 = 5/14

05 — AXIOMS (البديهيات الأربع — متحفظهمش!)

➤ P(S) = 1 — الحدث الأكيد
➤ P(Ø) = 0 — الحدث المستحيل
➤ 0 ≤ P(A) ≤ 1 — الاحتمال بين 0 و 1
➤ P(Ā) = 1 − P(A) — قاعدة المتممة: لو صعب تحسب حاجة، احسب عكسها!
➤ مثال: P(مطر)=0.3 → P(ما فيش مطر)=0.7

06 — COMMON MISTAKES (أخطاء شائعة اتجنبها!)

➤ لو طلع احتمال سالب → في غلط في الحساب
➤ لو طلع احتمال أكبر من 1 → في غلط في الحساب
➤ P(on die, get 7) = 0 (حدث مستحيل)
➤ P(on die, number ≤ 6) = 1 (حدث أكيد)
➤ P(A) + P(Ā) = 1 دايماً!

🎯 Quiz — Lecture 3

20 QUESTIONS

Q 01 / 20

Probability is a value between:

💡 EXPLANATION

الاحتمال دايماً بين 0 و 1. لو طلع برا الحدود يبقى في غلط.

Q 02 / 20

P(S) where S is the sample space:

💡 EXPLANATION

P(S) = 1 دايماً — فضاء العينة = الحدث الأكيد.

Q 03 / 20

P(Ø) equals:

💡 EXPLANATION

P(Ø) = 0 — المجموعة الخالية = الحدث المستحيل.

Q 04 / 20

Die rolled. P(prime number):

💡 EXPLANATION

الأعداد الأولية على الزهر = {2,3,5} = 3 من 6 → P = 3/6 = 1/2.

Q 05 / 20

Coin tossed twice. P(at least 1 head):

💡 EXPLANATION

S={HH,HT,TH,TT}. على الأقل H واحد = {HH,HT,TH} = 3 من 4 → P = 3/4.

Q 06 / 20

If P(A) = 0.7, then P(Ā) =

💡 EXPLANATION

P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 0.7 = 0.3. قاعدة المتممة.

Q 07 / 20

N equally likely outcomes, P(each outcome) =

💡 EXPLANATION

لو كل النتائج متساوية الاحتمال وعددها N → كل واحدة احتمالها = 1/N.

Q 08 / 20

Loaded die (even = 2× odd probability). P(a single odd number):

💡 EXPLANATION

9w=1 → w=1/9 لكل رقم فردي. فردي(1,3,5) = 1/9 كل واحد.

Q 09 / 20

Same loaded die. P(number < 4):

💡 EXPLANATION

{1,2,3}: P = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9.

Q 10 / 20

Box: 5 novels, 3 math, 1 dict. Pick 3. Total ways:

💡 EXPLANATION

n(S) = C(9,3) = 9!/(3!×6!) = 84.

Q 11 / 20

Same box. P(dictionary selected):

💡 EXPLANATION

n(E) = C(1,1)×C(8,2) = 1×28 = 28. P = 28/84 = 1/3.

Q 12 / 20

Same box. P(2 novels + 1 math book):

💡 EXPLANATION

n(E) = C(5,2)×C(3,1) = 10×3 = 30. P = 30/84 = 5/14.

Q 13 / 20

P(rain) = 30%. P(no rain) =

💡 EXPLANATION

P(no rain) = 1 − 0.30 = 0.70 = 70%. قاعدة المتممة.

Q 14 / 20

Which value CANNOT be a probability?

💡 EXPLANATION

1.2 > 1 فمينفعش يكون احتمال. الاحتمال لازم بين 0 و 1.

Q 15 / 20

Which value CANNOT be a probability?

💡 EXPLANATION

−0.5 سالب فمينفعش يكون احتمال.

Q 16 / 20

Die rolled. P(getting 7) =

💡 EXPLANATION

مفيش 7 على الزهر! ده حدث مستحيل → P = 0.

Q 17 / 20

Die rolled. P(number ≤ 6) =

💡 EXPLANATION

كل أرقام الزهر ≤ 6 → حدث أكيد → P = 1.

Q 18 / 20

P(A) + P(Ā) always equals:

💡 EXPLANATION

P(A) + P(Ā) = 1 دايماً. لأن A و Ā بيغطوا كل فضاء العينة.

Q 19 / 20

For a discrete sample space, P(E) equals:

💡 EXPLANATION

P(E) = مجموع احتمالات المخرجات داخل الحدث E.

Q 20 / 20

Equally likely space: E has 3 outcomes from 12. P(E) =

💡 EXPLANATION

P(E) = 3/12 = 1/4. القانون الأساسي: عدد الحالات المطلوبة ÷ عدد كل الحالات.

🎉

0/20

Arabic explanation shown for each answer above ↑

LECTURE 04

قواعد الإضافة والاحتمال الشرطي — Additive Rules & Conditional Probability

١. قاعدة الإضافة — Additive Rule

General Rule: For any two events A and B:
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

Mutually Exclusive (Disjoint): If A∩B = Ø, then:
P(A∪B) = P(A) + P(B)

القاعدة العامة: احتمال الاتحاد = مجموع الاحتمالين ناقص احتمال التقاطع (عشان ما نعدش التقاطع مرتين)
المنفصلان (Disjoint): لو مفيش تقاطع خالص → P(A∩B) = 0 فبيبقى P(A∪B) = P(A) + P(B) بس

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

لـ 3 أحداث:

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)
− P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C)
+ P(A∩B∩C)

EXAMPLE 1 — Given probabilities

P(A)=0.3, P(B)=0.2, P(A∩B)=0.1. Find:
1. P(A') = 1 − 0.3 = 0.7
2. P(A∪B) = 0.3 + 0.2 − 0.1 = 0.4
3. P(A'∩B) = P(B) − P(A∩B) = 0.2 − 0.1 = 0.1
4. P[(A∪B)'] = 1 − P(A∪B) = 1 − 0.4 = 0.6

رقم 3: P(A'∩B) يعني الجزء اللي في B بس (مش في A) = P(B) − P(A∩B)
رقم 4: متممة الاتحاد = 1 ناقص الاتحاد (قانون دي مورجان)

EXAMPLE 2 — Dice: P(sum=7 or 11)

A = sum is 7 = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} → P(A) = 6/36
B = sum is 11 = {(5,6),(6,5)} → P(B) = 2/36
A ∩ B = Ø (mutually exclusive — same roll can't be both 7 and 11)
P(A∪B) = 6/36 + 2/36 = 8/36 ≈ 0.222

7 و11 ما ممكنش يجوا في نفس الرمية → منفصلان → بنجمع فقط

٢. الاحتمال الشرطي — Conditional Probability

Definition: The probability of event B given that event A has occurred.
This means we're restricting the sample space to A only.

الفكرة: عندنا معلومة إضافية (إن A حصل) → بنضيّق فضاء العينة لـ A بس → بنحسب احتمال B داخل A
مثال حياتي: "احتمال إن الشخص مريض، بالنظر إنه فحصه طلع ايجابي"

P(B|A) = P(A∩B) / P(A) [provided P(A) > 0]

Equally Likely: P(B|A) = (outcomes in A∩B) / (outcomes in A)

EXAMPLE — Employment Table

Male: Employed=460, Unemployed=40 | Female: Employed=140, Unemployed=260 | Total=900

P(Male | Employed) = P(M∩E) / P(E) = (460/900) / (600/900) = 460/600 = 0.766

المطلوب: احتمال إنه ذكر، بالنظر إننا عارفين إنه موظف → بنقسم على المجموع الكلي للموظفين بس = 600

EXAMPLE — Textile Industry

P(fail length) = 0.1, P(fail texture) = 0.05, P(fail both) = 0.008
P(texture defect | length defect) = P(L∩T) / P(L) = 0.008 / 0.1 = 0.08

EXAMPLE — Dice: P(sum=10 | first die=6)

A = sum is 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}, B = first die is 6 = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
A∩B = {(6,4)} → P(A∩B) = 1/36
P(A|B) = (1/36) / (6/36) = 1/6 ≈ 0.167

٣. الاستقلالية مقابل الانفصال — Independence vs Disjoint

الأحداث المنفصلة (Disjoint / Mutually Exclusive):

A∩B = Ø → P(A∩B) = 0 → P(A|B) = 0/P(B) = 0

لو A حصل، يعني B مستحيل يحصل (مش موجود تقاطع)

الأحداث المستقلة (Independent):

A and B are independent if P(A|B) = P(A)
This means: P(A∩B) = P(A) × P(B)

لو B حصل، ما بيأثرش على احتمال A — كل حدث مستقل عن التاني

Disjoint: P(A∩B)=0 | P(A∪B)=P(A)+P(B) | P(A|B)=0
Independent: P(A∩B)=P(A)·P(B) | P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)·P(B) | P(A|B)=P(A)

EXAMPLE — P(A)=0.2, P(B)=0.3, DISJOINT

1. P(A∩B) = 0
2. P(A∪B) = 0.2 + 0.3 = 0.5
3. P(A|B) = 0 / 0.3 = 0

EXAMPLE — P(A)=0.2, P(B)=0.3, INDEPENDENT

1. P(A∩B) = 0.2 × 0.3 = 0.06
2. P(A∪B) = 0.2 + 0.3 − 0.06 = 0.44
3. P(A|B) = P(A)·P(B)/P(B) = P(A) = 0.2

EXAMPLE — Circuit Devices (Independent)

Series (both needed): P(L∩R) = P(L)×P(R) = 0.8 × 0.9 = 0.72

Parallel (either works): P(T∪B) = P(T)+P(B)−P(T)·P(B) = 0.95+0.90−0.855 = 0.995
OR: P(T∪B) = 1 − P(T')P(B') = 1 − (0.05)(0.10) = 0.995

تسلسلي (AND): ضرب الاحتمالات → كلاهم لازم يشتغل
توازي (OR): اتحاد → يكفي واحد يشتغل → الاحتمال أعلى بكتير

📝 ملخص المحاضرة الرابعة للمذاكرة

01 — ADDITIVE RULE (قاعدة الإضافة)

➤ P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) — القاعدة العامة دايماً
➤ لو Disjoint: P(A∩B)=0 → بنجمع فقط
➤ 3 أحداث: بنجمع الثلاثة ونطرح التقاطعات الثنائية ونجمع التقاطع الثلاثي
➤ مثال: P(7 or 11) على زهرتين = 6/36 + 2/36 = 8/36 (منفصلان)

02 — CONDITIONAL PROBABILITY (الاحتمال الشرطي)

➤ P(B|A) = P(A∩B) / P(A) — بشرط P(A) > 0
➤ "B given A" = احتمال B بعد ما A حصل = بنضيق فضاء العينة لـ A
➤ جدول: P(Male|Employed) = 460/600 = 0.766
➤ احسب P(A∩B) أول، ثم قسّم على P(الشرط)

03 — DISJOINT vs INDEPENDENT (الفرق المهم!)

➤ Disjoint: P(A∩B)=0 — مفيش تقاطع — لو A حصل, B مستحيل
➤ Independent: P(A∩B)=P(A)·P(B) — كل حدث ما بيأثرش على التاني
➤ الفرق: Disjoint بيعني P(A|B)=0 — Independent بيعني P(A|B)=P(A)
➤ لو منفصلان ومش صفر: مش مستقلان!

04 — CIRCUIT PROBLEMS (مسائل الدوائر)

➤ تسلسل (Series/AND): P = P(A) × P(B) — الكل لازم يشتغل
➤ توازي (Parallel/OR): P = 1 − P(A')·P(B') — يكفي واحد
➤ الأسرع: P(A∪B) = 1 − (1−P(A))(1−P(B)) للمستقلين في التوازي

🎯 Quiz — Lecture 4

20 QUESTIONS

Q 01 / 20

P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B). If P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.2, then P(A∪B)=

💡 EXPLANATION

P(A∪B) = 0.5+0.4−0.2 = 0.7. القانون الأساسي — لازم نطرح التقاطع عشان ما نعدوش مرتين.

Q 02 / 20

If A and B are mutually exclusive, P(A)=0.3, P(B)=0.4, then P(A∪B)=

💡 EXPLANATION

منفصلان → P(A∩B)=0 → P(A∪B) = P(A)+P(B) = 0.3+0.4 = 0.7. لا نطرح شيء.

Q 03 / 20

If A and B are mutually exclusive, then P(A∩B) =

💡 EXPLANATION

Mutually Exclusive = منفصلان = مفيش تقاطع = P(A∩B)=0.

Q 04 / 20

P(A')=0.65, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.25. Find P(A∪B).

💡 EXPLANATION

P(A)=1−0.65=0.35. P(A∪B)=0.35+0.4−0.25=0.50. Wait: 0.35+0.4−0.25=0.50. Check: answer is 0.50→ closest is 0.5.

Q 05 / 20

P(A)=0.6, P(B)=0.3, P(A∩B)=0.1. Find P(A'∩B).

💡 EXPLANATION

P(A'∩B) = P(B) − P(A∩B) = 0.3 − 0.1 = 0.2. ده الجزء اللي في B بس ومش في A.

Q 06 / 20

P(A)=0.3, P(B)=0.2, P(A∩B)=0.1. Find P[(A∪B)'].

💡 EXPLANATION

P(A∪B)=0.3+0.2−0.1=0.4. P[(A∪B)']=1−0.4=0.6. متممة الاتحاد.

Q 07 / 20

When rolling two dice, P(sum=7 or 11) =

💡 EXPLANATION

P(7)=6/36, P(11)=2/36. منفصلان → P(7 or 11)=8/36. {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} + {(5,6),(6,5)}.

Q 08 / 20

P(B|A) is defined as:

💡 EXPLANATION

الاحتمال الشرطي P(B|A) = P(A∩B)/P(A). بنقسم على الحدث المعطى (A).

Q 09 / 20

In a table: P(M∩E)=460/900, P(E)=600/900. Find P(M|E).

💡 EXPLANATION

P(M|E) = P(M∩E)/P(E) = (460/900)÷(600/900) = 460/600 ≈ 0.766.

Q 10 / 20

P(A)=0.2, P(B)=0.3, A and B are INDEPENDENT. Find P(A∩B).

💡 EXPLANATION

مستقلان → P(A∩B)=P(A)·P(B)=0.2×0.3=0.06.

Q 11 / 20

P(A)=0.2, P(B)=0.3, A and B are INDEPENDENT. Find P(A∪B).

💡 EXPLANATION

P(A∪B)=0.2+0.3−0.06=0.44. المستقلان مختلفان عن المنفصلان — لازم نطرح P(A∩B)=0.06.

Q 12 / 20

If A and B are independent, then P(A|B) =

💡 EXPLANATION

مستقلان → P(A|B)=P(A). معنى الاستقلالية: حدوث B ما بيأثرش على احتمال A.

Q 13 / 20

If A and B are disjoint, then P(A|B) =

💡 EXPLANATION

منفصلان → P(A∩B)=0 → P(A|B)=0/P(B)=0. لو B حصل، A مستحيل يحصل.

Q 14 / 20

For SERIES circuit (2 devices, P1=0.8, P2=0.9, independent), circuit works with P=

💡 EXPLANATION

تسلسل = AND = ضرب الاحتمالات = 0.8×0.9=0.72. كلاهم لازم يشتغل.

Q 15 / 20

For PARALLEL circuit (P1=0.95, P2=0.90, independent), circuit works with P=

💡 EXPLANATION

توازي = OR = 1−(1−0.95)(1−0.9)=1−(0.05)(0.10)=1−0.005=0.995.

Q 16 / 20

P(L)=0.1, P(T)=0.05, P(L∩T)=0.008. Find P(T|L).

💡 EXPLANATION

P(T|L)=P(L∩T)/P(L)=0.008/0.1=0.08. بنقسم على الحدث المعطى (L).

Q 17 / 20

Two dice: P(sum=10 | first die=6) =

💡 EXPLANATION

A∩B = {(6,4)} → P=1/36. P(B)=6/36. P(A|B)=1/36÷6/36=1/6.

Q 18 / 20

For three events A, B, C: P(A∪B∪C) includes:

💡 EXPLANATION

القانون الكامل لـ 3 أحداث: بنجمع الثلاثة، ونطرح التقاطعات الزوجية، ونجمع التقاطع الثلاثي.

Q 19 / 20

Which statement is TRUE about independent events?

💡 EXPLANATION

الاستقلالية تعني P(A∩B)=P(A)·P(B) — لا علاقة بالانفصال.

Q 20 / 20

P(A)=0.4, P(B)=0.5, events are INDEPENDENT. Find P(A'∩B').

💡 EXPLANATION

P(A'∩B')=P(A')·P(B')=(0.6)(0.5)=0.30. (مستقلان فمتممتهم مستقلتان أيضاً).

🎉

0/20

Arabic explanation shown for each answer above ↑

LECTURE 05

📊 Discrete Random Variable | المتغير العشوائي المتقطع

Random Variable | المتغير العشوائي

Random Variable: A function that assigns a real number to each outcome in the sample space of a random experiment. Denoted by an uppercase letter such as X.

Discrete Random Variable: A random variable with a finite or countably infinite range. Its possible values may be listed as X₁, X₂, ...

المتغير العشوائي: دالة بتعطي رقم حقيقي لكل نتيجة في فضاء العينة. بيُرمز له بحرف كبير زي X.
المتغير العشوائي المتقطع: متغير بمدى محدود أو غير محدود قابل للعد. قيمه ممكن تتكتب كـ X₁, X₂, ...

Example 1: Flipping a Coin Twice

EXAMPLE 01 — COIN FLIP × 2

X = number of heads
S = {HH, HT, TH, TT} → X values: 2, 1, 1, 0
X = {0, 1, 2}

x	0	1	2
f(x) = P(X=x)	1/4	2/4	1/4

المتغير X يمثل عدد الرؤوس (H). S يحتوي 4 نتائج — فرصة كل نتيجة = 1/4. HH→X=2، HT وTH→X=1، TT→X=0.

Probability Mass Function (PMF) | دالة الكتلة الاحتمالية

For a discrete random variable X with possible values x₁, x₂, ..., xₙ, a probability mass function satisfies:
(1) f(xᵢ) ≥ 0 (2) Σf(xᵢ) = 1 (3) f(xᵢ) = P(X = xᵢ)

f(x) = P(X = x) , f(xᵢ) ≥ 0 , Σf(xᵢ) = 1

دالة الكتلة الاحتمالية تحقق 3 شروط: (1) القيم غير سالبة (2) مجموع كل الاحتمالات = 1 (3) كل قيمة تساوي احتمال X عند تلك القيمة.

Example 2: Verify PMF

EXAMPLE 02 — VERIFY PMF

x	-2	-1	0	1	2
f(x) = P(X=x)	1/8	2/8	2/8	2/8	1/8

Sum = 1/8+2/8+2/8+2/8+1/8 = 8/8 = 1 ✓ | All f(x) ≥ 0 ✓ → Valid PMF

المجموع = 1 والقيم كلها موجبة → دالة كتلة احتمالية صحيحة.

Example 3: Computing Probabilities from PMF

EXAMPLE 03 — PROBABILITY COMPUTATIONS

Using the same PMF above:
a. P(X ≤ 2) = 1 (all values ≤ 2)
b. P(X > -2) = 1 − P(X=-2) = 1 − 1/8 = 7/8
c. P(-1 ≤ X ≤ 1) = f(-1)+f(0)+f(1) = 2/8+2/8+2/8 = 6/8
d. P(X ≤ -1 or X=2) = [f(-2)+f(-1)] + f(2) = 3/8 + 1/8 = 4/8

بنجمع الاحتمالات المقابلة للقيم المطلوبة في كل جزء.

Example 4: Defective Laptops (Hypergeometric)

EXAMPLE 04 — DEFECTIVE LAPTOPS

20 laptops: 3 defective + 17 good. School buys 2. X = number of defective.
X ∈ {0, 1, 2}

P(X=0) = C(3,0)·C(17,2)/C(20,2) = 1×136/190 = 136/190
P(X=1) = C(3,1)·C(17,1)/C(20,2) = 3×17/190 = 51/190
P(X=2) = C(3,2)·C(17,0)/C(20,2) = 3×1/190 = 3/190

x	0	1	2
f(x)=P(X=x)	136/190	51/190	3/190

بنستخدم التوافيق Hypergeometric. نختار عدد المعطوبين من 3 والسليمين من 17، مقسوم على كل طرق اختيار 2 من 20.

Cumulative Distribution Function (CDF) | دالة التوزيع التراكمي

The cumulative distribution function (CDF), denoted by F(x), measures the probability that X assumes a value less than or equal to x:

F(x) = P(X ≤ x) = Σ f(xᵢ) for all xᵢ ≤ x

دالة التوزيع التراكمي F(x) = مجموع الاحتمالات من البداية وحتى x. هي دايماً بتزيد (monotone non-decreasing) وبتبدأ من قريب 0 وتوصل لـ 1.

CDF TABLE — From PMF (1/8, 2/8, 2/8, 2/8, 1/8)

x	-2	-1	0	1	2
f(x)=P(X=x)	1/8	2/8	2/8	2/8	1/8
F(x)=P(X≤x)	1/8	3/8	5/8	7/8	8/8

F(-2)=1/8 | F(-1)=1/8+2/8=3/8 | F(0)=3/8+2/8=5/8 | F(1)=5/8+2/8=7/8 | F(2)=7/8+1/8=1

📋 ملخص المحاضرة الخامسة

RANDOM VARIABLE

المتغير العشوائي X: دالة تعطي رقماً لكل نتيجة في فضاء العينة | المتقطع: مدى محدود أو قابل للعد | أمثلة: عدد الرؤوس، عدد المعطوبات

PMF CONDITIONS

شرطان: (1) f(x) ≥ 0 لكل x | (2) Σf(x) = 1 | عدم تحقق أي شرط = ليست PMF

CDF vs PMF

f(x) = P(X=x) عند قيمة بعينها | F(x) = P(X≤x) مجموع تراكمي | F(x) دايماً بين 0 و1، وF عند أعلى قيمة = 1

DEFECTIVE LAPTOPS FORMULA

P(X=k) = C(3,k) × C(17, 2-k) / C(20,2) للمسائل الـ Hypergeometric

🎯 Quiz — Lecture 5

20 Questions

Q 01 / 20

A random variable is:

💡 EXPLANATION

المتغير العشوائي هو دالة بتعطي قيمة حقيقية لكل نتيجة في فضاء العينة. بيُرمز له بحرف كبير زي X.

Q 02 / 20

A discrete random variable has:

💡 EXPLANATION

المتغير العشوائي المتقطع له مدى محدود أو غير محدود قابل للعد — زي عدد الرؤوس في رمي عملة.

Q 03 / 20

Flipping a coin twice. X = number of heads. The possible values of X are:

💡 EXPLANATION

S = {HH,HT,TH,TT} → X يمكن أن يكون 0 رأس، 1 رأس، أو 2 رأس → {0,1,2}.

Q 04 / 20

In the coin flip example (2 flips), P(X=1) =

💡 EXPLANATION

الحالات التي فيها رأس واحد = {HT, TH} = 2 حالات من 4 → P(X=1) = 2/4 = 1/2.

Q 05 / 20

A probability mass function f(x) must satisfy:

💡 EXPLANATION

شرطا دالة الكتلة الاحتمالية: 1) f(x) ≥ 0 (لا تقبل قيماً سالبة) 2) مجموع كل الاحتمالات = 1.

Q 06 / 20

For the PMF table: x=(-2,-1,0,1,2), f(x)=(1/8,2/8,2/8,2/8,1/8). Verify it is valid:

💡 EXPLANATION

مجموع = 1/8+2/8+2/8+2/8+1/8 = 8/8 = 1 ✓ و كل القيم موجبة ✓ — إذن دالة كتلة احتمالية صحيحة.

Q 07 / 20

From PMF: x=(-2,-1,0,1,2), f(x)=(1/8,2/8,2/8,2/8,1/8). Find P(X ≤ 2):

💡 EXPLANATION

P(X ≤ 2) = مجموع كل الاحتمالات = 1. لأن 2 هي أعلى قيمة في X.

Q 08 / 20

From same PMF. Find P(X > -2):

💡 EXPLANATION

P(X > -2) = 1 − P(X = -2) = 1 − 1/8 = 7/8.

Q 09 / 20

From same PMF. Find P(-1 ≤ X ≤ 1):

💡 EXPLANATION

P(-1 ≤ X ≤ 1) = f(-1)+f(0)+f(1) = 2/8+2/8+2/8 = 6/8.

Q 10 / 20

From same PMF. Find P(X ≤ -1 or X = 2):

💡 EXPLANATION

P(X ≤ -1) = f(-2)+f(-1) = 1/8+2/8 = 3/8. P(X=2) = 1/8. المجموع = 4/8.

Q 11 / 20

A shipment of 20 laptops has 3 defective. School buys 2. P(X=0 defective) =

💡 EXPLANATION

P(X=0) = C(3,0)×C(17,2)/C(20,2) = 1×136/190 = 136/190. نختار 0 معطوب من 3 و2 سليم من 17.

Q 12 / 20

Same laptop problem. P(X=1 defective) =

💡 EXPLANATION

P(X=1) = C(3,1)×C(17,1)/C(20,2) = 3×17/190 = 51/190.

Q 13 / 20

Same laptop problem. P(X=2 defective) =

💡 EXPLANATION

P(X=2) = C(3,2)×C(17,0)/C(20,2) = 3×1/190 = 3/190.

Q 14 / 20

The cumulative distribution function F(x) = P(X ≤ x) is:

💡 EXPLANATION

دالة التوزيع التراكمي F(x) = P(X ≤ x) = مجموع f(x_i) لكل x_i ≤ x. هي مجمّعة لكل القيم حتى x.

Q 15 / 20

From PMF (1/8,2/8,2/8,2/8,1/8) for x=(-2,-1,0,1,2). F(-1) =

💡 EXPLANATION

F(-1) = P(X ≤ -1) = f(-2)+f(-1) = 1/8+2/8 = 3/8.

Q 16 / 20

From same PMF. F(0) =

💡 EXPLANATION

F(0) = P(X ≤ 0) = f(-2)+f(-1)+f(0) = 1/8+2/8+2/8 = 5/8.

Q 17 / 20

From same PMF. F(2) =

💡 EXPLANATION

F(2) = P(X ≤ 2) = مجموع كل الاحتمالات = 8/8 = 1. (أعلى قيمة دايماً = 1).

Q 18 / 20

If PMF has x=(0,1,2,3,4) with f(x)=(1/16,4/16,6/16,4/16,1/16), F(2) =

💡 EXPLANATION

F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 1/16+4/16+6/16 = 11/16.

Q 19 / 20

To find constant C in PMF f(x)=(5C, 2C, 3C, 4C) for x=(-2,-1,1,2), use:

💡 EXPLANATION

شرط دالة الكتلة: مجموع كل f(x) = 1 → 5C+2C+3C+4C = 14C = 1 → C = 1/14.

Q 20 / 20

The difference between f(x) and F(x) is:

💡 EXPLANATION

f(x) = الاحتمال عند قيمة معينة (= x). F(x) = الاحتمال التراكمي (≤ x). F تجمع كل f حتى x.

🎉

0/20

Arabic explanation shown for each answer above ↑

LECTURE 06

📈 Random Variable Recap & Expected Value | القيمة المتوقعة

Types of Random Variables | أنواع المتغيرات العشوائية

1. Discrete Variable: Takes integer values. Examples: number of family members, goals scored, cars sold.

2. Continuous Variable: Takes any value in a range. Examples: heights, weights, time to finish an exam.

1. المتقطع: قيمه أعداد صحيحة — زي عدد أفراد الأسرة، الأهداف، السيارات المباعة.
2. المستمر: يأخذ أي قيمة في مدى — زي الطول، الوزن، الزمن.

Example: Two Dice, X = sum

EXAMPLE — ROLLING 2 DICE

X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} — 36 total outcomes

x	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P(X=x)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Sum = 36/36 = 1 ✓

أكثر قيمة ظهوراً هي 7 (6 حالات من 36). المجموع دايماً = 1.

Finding Constant C in PMF

EXAMPLE — FIND C

x = (-2, -1, 1, 2), f(x) = (5C, 2C, 3C, 4C)
Use Σf(x) = 1 → 5C + 2C + 3C + 4C = 1 → 14C = 1 → C = 1/14

لإيجاد الثابت C: بنجمع كل قيم f(x) ونساويها بـ 1، ثم نحل للـ C.

Probability Computations from Distribution Tables | حسابات الاحتمال

EXAMPLE — DISTRIBUTION TABLE WITH UNKNOWN K

x = (-2, -1, 0, 3, 5), P(X=x) = (0.1, 0.3, K, 0.2, 0.15)
Find K: 0.1+0.3+K+0.2+0.15 = 1 → K = 0.25

Then:
• P(X ≥ -1) = 0.3+0.25+0.2+0.15 = 0.90
• P(X < 3) = 0.1+0.3+0.25 = 0.65
• P(X = 2.5) = 0 (2.5 not in domain)
• P(X < 3.5) = 0.1+0.3+0.25+0.2 = 0.85
• P(X ≥ 5) = P(X=5) = 0.15
• P(X > -3) = all values = 1

نلاحظ أن P(X=2.5)=0 لأن 2.5 مش من قيم X المعرّفة. وP(X>-3)=1 لأن كل القيم أكبر من -3.

Concrete Beams Example

EXAMPLE — CONCRETE BEAMS (H=Shear, F=Flexure)

3 beams selected. X = number of shear failures.
S = {HHH, HHF, HFH, HFF, FHH, FHF, FFH, FFF} — 8 equally likely outcomes
X=0: {FFF} → P=1/8 | X=1: {HFF,FHF,FFH} → P=3/8
X=2: {HHF,HFH,FHH} → P=3/8 | X=3: {HHH} → P=1/8

P(X ≤ 2) = P(0)+P(1)+P(2) = 1/8+3/8+3/8 = 7/8 = 0.875

فضاء العينة 8 نتائج متساوية. "على الأكثر 2" = P(X≤2) = مجموع P(0)+P(1)+P(2).

Cumulative Distribution Function — Review | مراجعة التوزيع التراكمي

F(x) = P(X ≤ x) = Σ p(y) for y ≤ x

Remember: f(x) = P(X = x) (exact) vs F(x) = P(X ≤ x) (cumulative)

EXAMPLE — FLASH DRIVE STORE

x = (1, 2, 4, 8, 16 GB), P(X=x) = (0.05, 0.1, 0.35, 0.4, 0.1)
F(1) = 0.05 | F(2) = 0.05+0.1 = 0.15 | F(4) = 0.15+0.35 = 0.50
F(8) = 0.50+0.40 = 0.90 | F(16) = 0.90+0.10 = 1.00

كل قيمة في F هي مجموع تراكمي لكل القيم التي قبلها.

Expected Value E(X) | القيمة المتوقعة

The expected value (mean) of a discrete random variable X is the weighted average of its values:

E(X) = μ = Σ [x · P(X = x)]

القيمة المتوقعة = المتوسط المرجّح بالاحتمالات. قد تكون قيمة غير منطقية (مثلاً 3.54 مواد) لكنها تمثل المتوسط الحقيقي.

EXAMPLE 1 — UNIVERSITY COURSES

x=(1,2,3,4,5,6), P=(0.05,0.1,0.35,0.4,0.05,0.05)
E(X) = 1(0.05)+2(0.1)+3(0.35)+4(0.4)+5(0.05)+6(0.05)
= 0.05+0.20+1.05+1.60+0.25+0.30 = 3.54

المتوسط = 3.54 مادة (نقرّبها لـ 4 عملياً). القيمة المتوقعة ليست بالضرورة من قيم X.

EXAMPLE 2 — NUMBER OF BOOKS BOUGHT

x=(1,2,3,4,5), P=(0.05,0.1,0.35,0.4,0.1)
E(X) = 1(0.05)+2(0.1)+3(0.35)+4(0.4)+5(0.1) = 0.05+0.2+1.05+1.6+0.5 = 3.4

القيمة المتوقعة لعدد الكتب = 3.4. بنطرب كل قيمة في احتمالها ونجمع.

EXAMPLE 3 — MAGAZINES & BUDGET

x=(1000,1500,2000,2500,3000), P=(0.2,0.2,0.3,0.15,0.15)
E(X) = 1000(0.2)+1500(0.2)+2000(0.3)+2500(0.15)+3000(0.15)
= 200+300+600+375+450 = 1925 magazines

If each magazine costs 3 LE: Mean budget = 1925 × 3 = 5775 LE

الميزانية المتوقعة = العدد المتوقع × السعر = 1925 × 3 = 5775 جنيه.

📋 ملخص المحاضرة السادسة

DISCRETE vs CONTINUOUS

متقطع: أعداد صحيحة (عدد السيارات، الأهداف) | مستمر: أي قيمة في مدى (الطول، الوزن، الزمن)

FIND C IN PMF

Σf(x) = 1 → اجمع كل التعابير وساوها بـ 1 وحل للـ C | مثال: 5C+2C+3C+4C = 14C = 1 → C = 1/14

CDF KEY RULE

F(x) = P(X ≤ x) = مجموع تراكمي | F عند أعلى قيمة = 1 | f(x) ≠ F(x) — الفرق مهم جداً في الامتحان

EXPECTED VALUE

E(X) = Σ[x · P(x)] | المتوسط المرجّح | قد لا يكون من قيم X | E(aX) = a·E(X) | E(X+b) = E(X)+b

🎯 Quiz — Lecture 6

20 Questions

Q 01 / 20

A random variable X can be:

💡 EXPLANATION

المتغير العشوائي نوعان: متقطع (Discrete) بقيم معدودة، أو مستمر (Continuous) بقيم في مدى معين.

Q 02 / 20

Which is an example of a DISCRETE random variable?

💡 EXPLANATION

عدد السيارات المباعة = متقطع (يأخذ أعداداً صحيحة). الطول والوزن والزمن = متصلة.

Q 03 / 20

Which is an example of a CONTINUOUS random variable?

💡 EXPLANATION

الطول = متغير مستمر. يمكن أن يأخذ أي قيمة في مدى معين (مثلاً 1.75 أو 1.752 متر).

Q 04 / 20

Rolling two dice, X = sum. What are possible values of X?

💡 EXPLANATION

أقل مجموع = 1+1 = 2، أكبر مجموع = 6+6 = 12. إذن X ∈ {2,3,...,12}.

Q 05 / 20

From the two-dice experiment, P(X=7) =

💡 EXPLANATION

المجاميع التي تعطي 7 = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} = 6 حالات → P(X=7) = 6/36.

Q 06 / 20

For PMF table: x=(-2,-1,0,3,5), P(X=x)=(0.1,0.3,K,0.2,0.15). Find K.

💡 EXPLANATION

مجموع كل الاحتمالات = 1 → 0.1+0.3+K+0.2+0.15 = 1 → 0.75+K = 1 → K = 0.25.

Q 07 / 20

From same PMF (K=0.25). Find P(X ≥ -1).

💡 EXPLANATION

P(X ≥ -1) = P(-1)+P(0)+P(3)+P(5) = 0.3+0.25+0.2+0.15 = 0.90.

Q 08 / 20

From same PMF. Find P(X < 3).

💡 EXPLANATION

P(X < 3) = P(-2)+P(-1)+P(0) = 0.1+0.3+0.25 = 0.65.

Q 09 / 20

From same PMF. Find P(X = 2.5).

💡 EXPLANATION

P(X=2.5) = 0 لأن 2.5 ليست من قيم X المعرّفة. المتغير المتقطع له قيم محددة فقط.

Q 10 / 20

From same PMF. Find P(X > -3).

💡 EXPLANATION

P(X > -3) = مجموع كل الاحتمالات = 1. لأن كل قيم X أكبر من -3.

Q 11 / 20

Three beams (H=shear, F=flexure) selected randomly. X=shear failures. P(X=0) =

💡 EXPLANATION

P(X=0) = P(FFF) = 1/8. (فضاء العينة = 8 نتائج متساوية الاحتمال، حالة X=0 هي FFF فقط).

Q 12 / 20

Same beams. P(X=2) =

💡 EXPLANATION

P(X=2) = P(HHF, HFH, FHH) = 3/8. ثلاث حالات من 8.

Q 13 / 20

Same beams. P(X ≤ 2) =

💡 EXPLANATION

P(X≤2) = P(0)+P(1)+P(2) = 1/8+3/8+3/8 = 7/8 = 0.875.

Q 14 / 20

Flash drive store: x=(1,2,4,8,16 GB), P=(0.05,0.1,0.35,0.4,0.1). F(4) =

💡 EXPLANATION

F(4) = P(X≤4) = P(1)+P(2)+P(4) = 0.05+0.1+0.35 = 0.50.

Q 15 / 20

Same flash drive. F(8) =

💡 EXPLANATION

F(8) = P(X≤8) = 0.05+0.1+0.35+0.4 = 0.90.

Q 16 / 20

The Expected Value E(X) = μ is calculated as:

💡 EXPLANATION

القيمة المتوقعة = المتوسط المرجّح = Σ[x × P(x)]. بنضرب كل قيمة في احتمالها ونجمع.

Q 17 / 20

PMF: x=(1,2,3,4,5), P=(0.05,0.1,0.35,0.4,0.1). Find E(X).

💡 EXPLANATION

E(X) = 1(0.05)+2(0.1)+3(0.35)+4(0.4)+5(0.1) = 0.05+0.2+1.05+1.6+0.5 = 3.4.

Q 18 / 20

A hypermarket needs magazines: x=(1000,1500,2000,2500,3000), P=(0.2,0.2,0.3,0.15,0.15). E(X) =

💡 EXPLANATION

E(X) = 1000(0.2)+1500(0.2)+2000(0.3)+2500(0.15)+3000(0.15) = 200+300+600+375+450 = 1925.

Q 19 / 20

If each magazine costs 3 LE, expected budget from previous example =

💡 EXPLANATION

الميزانية المتوقعة = E(X) × السعر = 1925 × 3 = 5775 LE. نطبق قاعدة E(aX) = a×E(X).

Q 20 / 20

Which statement about E(X) is CORRECT?

💡 EXPLANATION

E(X) هو المتوسط المرجّح — قد لا يكون من قيم X أصلاً (مثلاً E(X)=3.4 بينما X={1,2,3,4,5}).

🎉

0/20

Arabic explanation shown for each answer above ↑

LECTURE 10

🎲 Total Probability & Bayes' Rule | الاحتمالات الكلية وقاعدة بايز

Total Probability | الاحتمالات الكلية

If we have mutually exclusive events A₁, A₂, …, Aₙ such that:
A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ Aₙ = S (they cover the whole sample space)

Then for any event B in S:

P(B) = P(B|A₁)·P(A₁) + P(B|A₂)·P(A₂) + ··· + P(B|Aₙ)·P(Aₙ)

إذا كان لدينا أحداث متنافية A₁, A₂, …, Aₙ تغطي فضاء العينة كاملاً، فإن احتمال أي حدث B يُحسب بجمع حاصل ضرب كل احتمال شرطي P(B|Aᵢ) في احتمال حدوث الحدث Aᵢ.

Example 1 — Factory Machines | مثال ١ — ماكينات المصنع

TOTAL PROBABILITY — CORRUPTED ITEMS

A factory has 3 machines T, M, F producing 60%, 30%, 10% of total output.
Corruption rates: T→3%, M→5%, F→7%. Find P(corrupted item A).

Given: P(T)=0.6, P(M)=0.3, P(F)=0.1
P(A|T)=0.03, P(A|M)=0.05, P(A|F)=0.07

Solution:

P(A) = P(A|T)·P(T) + P(A|M)·P(M) + P(A|F)·P(F)

= 0.03×0.6 + 0.05×0.3 + 0.07×0.1

= 0.018 + 0.015 + 0.007 = 0.04

المصنع فيه 3 ماكينات. لإيجاد الاحتمال الكلي للقطعة المعطوبة: نضرب كل احتمال شرطي في احتمال الماكينة ونجمع. النتيجة: P(A) = 0.04 = 4%

Example 2 — Insurance Company | مثال ٢ — شركة تأمين

TOTAL PROBABILITY — ACCIDENTS

An insurance company divides customers: A (40%), B (60%).
P(accident|A)=0.6, P(accident|B)=0.3. Find P(C) = P(accident).

Given: P(A)=0.4, P(B)=0.6, P(C|A)=0.6, P(C|B)=0.3

P(C) = P(C|A)·P(A) + P(C|B)·P(B)

= 0.6×0.4 + 0.3×0.6 = 0.24 + 0.18 = 0.42

شركة التأمين تقسم العملاء لفئتين. الاحتمال الكلي للحوادث = 0.42 = 42%

Example 3 — Production Lines | مثال ٣ — خطوط الإنتاج

TOTAL PROBABILITY — GOOD / BAD PRODUCTS

Factory lines A(40%), B(35%), C(25%). P(good|A)=0.95, P(good|B)=0.90, P(good|C)=0.97.

a) P(good product G):

P(G) = 0.40×0.95 + 0.35×0.90 + 0.25×0.97

= 0.38 + 0.315 + 0.2425 = 0.9375 = 93.75%

b) P(bad product B'):

P(B') = 1 − P(G) = 1 − 0.9375 = 0.0625 = 6.25%

c) P(A ∩ G) — from line A and good:

P(A∩G) = P(A)×P(G|A) = 0.40×0.95 = 0.38 = 38%

d) P(C ∩ B') — from line C and bad:

P(C∩B') = P(C)×P(B'|C) = 0.25×(1−0.97) = 0.25×0.03 = 0.0075 = 0.75%

(أ) احتمال منتج جيد = 93.75% | (ب) احتمال منتج معيب = 6.25%
(ج) احتمال أن يكون من خط A وجيد = 38% | (د) من خط C ومعيب = 0.75%

Bayes' Rule | قاعدة بايز

Bayes' Rule allows us to reverse conditional probabilities. Starting from:
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) and P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

We get: P(A|B)·P(B) = P(B|A)·P(A), which gives us:

P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)

For multiple mutually exclusive events A₁…Aₙ covering S, using Total Probability for P(B):

P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ) / [P(B|A₁)·P(A₁) + ··· + P(B|Aₙ)·P(Aₙ)]

قاعدة بايز تُعكس الاحتمال الشرطي — إذا عرفنا P(B|A) نقدر نحسب P(A|B). المقام هو الاحتمال الكلي P(B).

Example 1 — Bayes: Which Machine Produced the Defect? | مثال ١ — أي ماكينة؟

BAYES' RULE — CORRUPTED ITEM SOURCE

Same factory: P(T)=0.6, P(M)=0.3, P(F)=0.1 and P(A|T)=0.03, P(A|M)=0.05, P(A|F)=0.07.
From Example 1 above: P(A) = 0.04

Given a corrupted item is selected, find the probability it belongs to each machine:

a) P(F|A):

P(F|A) = (P(A|F)·P(F)) / P(A) = (0.07×0.1) / 0.04 = 0.007/0.04 = 0.175

b) P(M|A):

P(M|A) = (P(A|M)·P(M)) / P(A) = (0.05×0.3) / 0.04 = 0.015/0.04 = 0.375

c) P(T|A):

P(T|A) = (P(A|T)·P(T)) / P(A) = (0.03×0.6) / 0.04 = 0.018/0.04 = 0.45

Check: 0.175 + 0.375 + 0.45 = 1.0 ✓

لو اخترنا قطعة معطوبة، نريد معرفة من أي ماكينة جاءت:
F: 17.5% | M: 37.5% | T: 45%
رغم أن T أقل نسبة عطل، لكن إنتاجها 60% فأغلب المعيبات منها.

Example 2 — Bayes: Corn Seeds | مثال ٢ — بذور الذرة

BAYES' RULE — SEED ORIGIN

A farmer uses seeds: Egypt 50%, Tunisia 20%, Morocco 20%, Libya 10%.
P(grow|Egypt)=0.6, P(grow|Tunisia)=0.3, P(grow|Morocco)=0.5, P(grow|Libya)=0.4.

a) P(G) — Total probability of growing:

P(G) = 0.6×0.5 + 0.3×0.2 + 0.5×0.2 + 0.4×0.1

= 0.30 + 0.06 + 0.10 + 0.04 = 0.50

b) P(Egypt|G) — Probability seed is Egyptian given it grew:

P(E|G) = (P(G|E)·P(E)) / P(G) = (0.6×0.5) / 0.5 = 0.30/0.50 = 0.60

(أ) الاحتمال الكلي للنمو = 50%
(ب) إذا نمت البذرة، احتمال أنها مصرية = 60% — لأن البذور المصرية نصف الإجمالي ونسبة نموها عالية.

Example 3 — Bayes: Foreign Students | مثال ٣ — الطلاب الأجانب

BAYES' RULE — FOREIGN STUDENTS

In a department: 80% girls (G), 20% boys (B).
P(foreign|Boys) = 0.07, P(foreign|Girls) = 0.03.

a) P(F) — Total probability of selecting a foreign student:

P(F) = P(F|B)·P(B) + P(F|G)·P(G)

= 0.07×0.2 + 0.03×0.8 = 0.014 + 0.024 = 0.038

b) P(G|F) — Probability selected foreign student is a girl:

P(G|F) = (P(F|G)·P(G)) / P(F) = (0.03×0.8) / 0.038 = 0.024/0.038 ≈ 0.632

(أ) احتمال اختيار طالب أجنبي = 3.8%
(ب) إذا كان الطالب أجنبياً، احتمال أنها فتاة = 63.2% — لأن الفتيات 80% من القسم.

📋 ملخص المحاضرة السابعة

TOTAL PROBABILITY

P(B) = Σ P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ) — نجمع حاصل ضرب كل احتمال شرطي في احتمال حدوثه. تُستخدم حين يمكن تقسيم الفضاء لأحداث متنافية.

BAYES' RULE

P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ) / P(B) — تعكس الاحتمال الشرطي. المقام = الاحتمال الكلي P(B). تُستخدم لإيجاد "من أين جاء الحدث؟"

KEY DIFFERENCE

الاحتمالات الكلية → تسأل: "ما احتمال حدوث B؟" (اتجاه للأمام)
بايز → تسأل: "إذا حدث B، ما احتمال أن يكون السبب Aᵢ؟" (اتجاه للخلف)

QUICK CHECK

بعد حساب Bayes لكل الأحداث، مجموع P(A₁|B)+P(A₂|B)+…+P(Aₙ|B) = 1 دايماً ✓

🎯 Quiz — Lecture 10

20 Questions

Q 01 / 20

The Law of Total Probability states that P(B) =

💡 EXPLANATION

قانون الاحتمالات الكلية: P(B) = Σ P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ). نضرب كل احتمال شرطي في احتمال حدوث الشرط ونجمع.

Q 02 / 20

For Total Probability to apply, events A₁…Aₙ must be:

💡 EXPLANATION

الشرط الأساسي: الأحداث متنافية (لا تتقاطع) وتغطي فضاء العينة كاملاً. أي A₁∪A₂∪…∪Aₙ=S.

Q 03 / 20

Factory: P(T)=0.6, P(M)=0.3, P(F)=0.1. P(A|T)=0.03, P(A|M)=0.05, P(A|F)=0.07. Find P(A).

💡 EXPLANATION

P(A) = 0.03×0.6 + 0.05×0.3 + 0.07×0.1 = 0.018+0.015+0.007 = 0.04 = 4%.

Q 04 / 20

Insurance: P(A)=0.4, P(B)=0.6, P(C|A)=0.6, P(C|B)=0.3. Find P(C).

💡 EXPLANATION

P(C) = P(C|A)·P(A)+P(C|B)·P(B) = 0.6×0.4+0.3×0.6 = 0.24+0.18 = 0.42.

Q 05 / 20

Production lines A(40%), B(35%), C(25%). P(good|A)=0.95, P(good|B)=0.90, P(good|C)=0.97. Find P(G).

💡 EXPLANATION

P(G) = 0.40×0.95+0.35×0.90+0.25×0.97 = 0.38+0.315+0.2425 = 0.9375 = 93.75%.

Q 06 / 20

From the same production lines, P(bad product) =

💡 EXPLANATION

P(bad) = 1−P(good) = 1−0.9375 = 0.0625 = 6.25%. الاحتمال المتمم.

Q 07 / 20

From the same production lines, P(product from line A AND good) =

💡 EXPLANATION

P(A∩G) = P(A)×P(G|A) = 0.40×0.95 = 0.38 = 38%.

Q 08 / 20

From the same production lines, P(product from line C AND bad) =

💡 EXPLANATION

P(C∩B') = P(C)×P(B'|C) = 0.25×(1−0.97) = 0.25×0.03 = 0.0075 = 0.75%.

Q 09 / 20

Bayes' Rule is used to:

💡 EXPLANATION

قاعدة بايز تعكس الاحتمال الشرطي: إذا عرفنا P(B|A) نحسب P(A|B). هي تجيب على 'من أين جاء الحدث؟'

Q 10 / 20

Bayes' Rule formula is:

💡 EXPLANATION

قاعدة بايز: P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B). البسط = احتمال التقاطع، المقام = الاحتمال الكلي P(B).

Q 11 / 20

Factory: P(A)=0.04 (from earlier). Find P(F|A) where P(A|F)=0.07, P(F)=0.1.

💡 EXPLANATION

P(F|A) = (0.07×0.1)/0.04 = 0.007/0.04 = 0.175 = 17.5%. نطبق بايز مباشرة.

Q 12 / 20

Same factory. Find P(M|A) where P(A|M)=0.05, P(M)=0.3, P(A)=0.04.

💡 EXPLANATION

P(M|A) = (0.05×0.3)/0.04 = 0.015/0.04 = 0.375 = 37.5%.

Q 13 / 20

Same factory. Find P(T|A) where P(A|T)=0.03, P(T)=0.6, P(A)=0.04.

💡 EXPLANATION

P(T|A) = (0.03×0.6)/0.04 = 0.018/0.04 = 0.45 = 45%. رغم أن T أقل نسبة عطل، إنتاجها كبير فأغلب المعيبات منها.

Q 14 / 20

After applying Bayes' Rule to all events, P(T|A)+P(M|A)+P(F|A) should equal:

💡 EXPLANATION

دايماً المجموع = 1. هذا التحقق ضروري للتأكد من صحة الحسابات. 0.45+0.375+0.175 = 1.0 ✓

Q 15 / 20

Seeds: Egypt 50%, Tunisia 20%, Morocco 20%, Libya 10%. P(G|E)=0.6, P(G|T)=0.3, P(G|M)=0.5, P(G|L)=0.4. Find P(G).

💡 EXPLANATION

P(G) = 0.6×0.5+0.3×0.2+0.5×0.2+0.4×0.1 = 0.30+0.06+0.10+0.04 = 0.50 = 50%.

Q 16 / 20

From same seeds example, find P(Egypt|G).

💡 EXPLANATION

P(E|G) = (P(G|E)·P(E))/P(G) = (0.6×0.5)/0.5 = 0.30/0.50 = 0.60 = 60%.

Q 17 / 20

Department: P(Girls)=0.8, P(Boys)=0.2, P(F|Boys)=0.07, P(F|Girls)=0.03. Find P(F).

💡 EXPLANATION

P(F) = 0.07×0.2+0.03×0.8 = 0.014+0.024 = 0.038 = 3.8%.

Q 18 / 20

Same department. Find P(Girls|Foreign).

💡 EXPLANATION

P(G|F) = (P(F|G)·P(G))/P(F) = (0.03×0.8)/0.038 = 0.024/0.038 ≈ 0.632 = 63.2%.

Q 19 / 20

In Bayes' Rule, the denominator P(B) is calculated using:

💡 EXPLANATION

المقام في قاعدة بايز هو P(B)، ويُحسب باستخدام قانون الاحتمالات الكلية: P(B) = Σ P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ).

Q 20 / 20

Which scenario uses Bayes' Rule (not just Total Probability)?

💡 EXPLANATION

بايز يُستخدم حين نريد الاتجاه العكسي: معطيات أن القطعة معطوبة → ما احتمال أنها من ماكينة T؟ هذا هو P(T|A).

🎉

0/20

Arabic explanation shown for each answer above ↑

LECTURE 11

📈 Continuous Distributions | التوزيعات المستمرة

Continuous Random Variable | المتغير العشوائي المستمر

For a continuous random variable X with probability density function f(x):

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx

The required condition for f(x) to be a valid density function:

∫₋∞^∞ f(x) dx = 1 and f(x) ≥ 0

للمتغير العشوائي المستمر X، الاحتمال يُحسب بالتكامل تحت منحنى دالة الكثافة f(x).
شرط الصحة: مجموع (تكامل) كل الاحتمالات = 1 والدالة غير سالبة.

⚠️ IMPORTANT NOTES — ملاحظات مهمة

For any continuous probability function:
• P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b)
• P(X = c) = 0 for any specific value c (probability of a single point = 0)
• The limits of integration can be changed to the actual start and end of the function — they are not always −∞ to +∞.

في التوزيع المستمر: لا فرق بين ≤ و < في حساب الاحتمالات.
P(X = قيمة محددة) = 0 دايماً لأن الاحتمال = مساحة تحت النقطة = صفر.
حدود التكامل تتغير لبداية ونهاية الدالة وليس −∞ و+∞ دايماً.

Continuous Uniform Distribution | التوزيع المنتظم المستمر

A random variable X has a continuous uniform distribution on [a, b], written X ~ U(a, b), if all values in [a, b] are equally likely.

f(x) = 1/(b−a) if a ≤ x ≤ b | f(x) = 0 otherwise

Key properties:
• Mean: μ = E(X) = (a + b) / 2
• Variance: σ² = (b − a)² / 12
• Cumulative Distribution Function (CDF): F(x) = (x − a) / (b − a)

F(x) = P(X ≤ x) = (x − a) / (b − a) for a ≤ x ≤ b

التوزيع المنتظم X ~ U(a, b): كل القيم بين a و b متساوية الاحتمال.
• المتوسط = (a+b)/2 | التباين = (b−a)²/12
• دالة التوزيع التراكمي F(x) = (x−a)/(b−a) وتُستخدم لحساب P(X ≤ x)

Example 1 — Conference Room | مثال ١ — قاعة الاجتماعات

UNIFORM DISTRIBUTION — X ~ U(0, 4)

A conference room can be reserved for at most 4 hours. The length X of a conference follows U(0, 4).

a) What is the probability density function?
Since a=0, b=4:

f(x) = 1/(4−0) = 1/4 = 0.25 for 0 ≤ x ≤ 4 | f(x)=0 elsewhere

🔵 Area under the rectangle = 0.25 × 4 = 1 ✓

b) P(X ≥ 3) — conference lasts at least 3 hours?

P(X ≥ 3) = 1 − P(X < 3) = 1 − F(3)

F(3) = (3−0)/(4−0) = 3/4

P(X ≥ 3) = 1 − 3/4 = 1/4 = 0.25

(أ) f(x) = 1/4 للقيم بين 0 و4، صفر في غيرها.
(ب) احتمال أن الاجتماع يدوم 3 ساعات أو أكثر = 1 − F(3) = 1 − 3/4 = 1/4 = 25%

Example 2 — Bus Stop | مثال ٢ — محطة الأتوبيس

UNIFORM DISTRIBUTION — X ~ U(0, 10)

A bus arrives every 10 minutes. Waiting time X ~ U(0, 10).
f(x) = 1/10 for 0 ≤ x ≤ 10 | F(x) = x/10

a) P(X ≤ 4) — waits at most 4 minutes:

P(X ≤ 4) = F(4) = (4−0)/(10−0) = 4/10 = 0.4

b) P(X ≥ 6) — waits more than 6 minutes:

P(X ≥ 6) = 1 − F(6) = 1 − (6−0)/(10−0) = 1 − 6/10 = 4/10 = 0.4

c) P(1 ≤ X ≤ 4) — waits between 1 and 4 minutes:

P(1 ≤ X ≤ 4) = F(4) − F(1) = 4/10 − 1/10 = 3/10 = 0.3

d) Average waiting time (Mean):

μ = E(X) = (a + b)/2 = (0 + 10)/2 = 5 minutes

(أ) P(X ≤ 4) = 4/10 = 0.4 | (ب) P(X ≥ 6) = 4/10 = 0.4
(ج) P(1 ≤ X ≤ 4) = F(4)−F(1) = 4/10−1/10 = 3/10 = 0.3
(د) المتوسط = 5 دقائق

The Normal Distribution | التوزيع الطبيعي

A continuous random variable X has a normal distribution with mean μ and variance σ², written X ~ N(μ, σ²), if its density follows the famous bell-shaped curve.

f(x) = (1 / σ√2π) · e^[−(x−μ)²/2σ²] for −∞ < x < ∞

Properties of the Normal Curve:
1. Mode = Mean = Median = μ (all are equal)
2. The curve is symmetric about the vertical axis at μ
3. Points of inflection at x = μ ± σ (concave down between, concave up outside)
4. The curve approaches but never touches the horizontal axis (asymptotic)
5. Total area under the curve = 1

خصائص منحنى التوزيع الطبيعي:
1. المنوال = الوسط = الوسيط = μ
2. المنحنى متماثل حول محور عمودي عند μ
3. نقاط الانعطاف عند x = μ ± σ
4. المنحنى يقترب من المحور الأفقي ولا يلمسه (مقارب)
5. المساحة الكلية تحت المنحنى = 1

Empirical Rule (68-95-99.7 Rule) | القاعدة التجريبية

THREE-SIGMA RULE

For any normal distribution X ~ N(μ, σ²):

• P(μ − σ < X < μ + σ) ≈ 68.26% — within 1 standard deviation
• P(μ − 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 95.44% — within 2 standard deviations
• P(μ − 3σ < X < μ + 3σ) ≈ 99.74% — within 3 standard deviations

Each half: 34.13% | 13.59% | 2.15% from center outward.

القاعدة التجريبية: في أي توزيع طبيعي:
• 68% من البيانات تقع بين μ−σ و μ+σ
• 95% تقع بين μ−2σ و μ+2σ
• 99.7% تقع بين μ−3σ و μ+3σ

Example — Pulse Rates | مثال — معدلات ضربات القلب

EMPIRICAL RULE APPLICATION — X ~ N(72, 36)

Pulse rates of 200 college men: μ = 72 bpm, σ = 6 bpm → X ~ N(72, 36).

• Within 1σ (66 to 78): ≈ 68% of men → 200 × 0.68 ≈ 136 men
• Within 2σ (60 to 84): ≈ 95% of men → 200 × 0.95 ≈ 190 men
• Within 3σ (54 to 90): ≈ 99.7% of men → 200 × 0.997 ≈ 199 men

معدل النبض X ~ N(72, 36) بمعنى μ=72 وσ=6.
68% من الطلاب بين 66 و78 | 95% بين 60 و84 | 99.7% بين 54 و90.

Standard Normal Distribution | التوزيع الطبيعي المعياري

The Standard Normal Distribution is a special normal distribution with μ = 0 and σ² = 1, written Z ~ N(0, 1).

Its density function is:

f(z) = (1/√2π) · e^(−z²/2) for −∞ < z < ∞

The Cumulative Distribution Function (CDF) is denoted Φ(z):

Φ(z) = P(Z ≤ z) = (1/√2π) ∫₋∞ᶻ e^(−x²/2) dx

We use Standard Normal Tables (Z-tables) to find Φ(z) values. The table gives the area to the LEFT of z.

How to use the Z-table:
• Find the row for the integer and first decimal digit of z
• Find the column for the second decimal digit
• The table value = P(Z ≤ z) = Φ(z)

Example: P(Z ≤ 1.5) = Φ(1.5) = 0.93319 (from table, row 1.5, column 0.00)

التوزيع الطبيعي المعياري Z ~ N(0,1): متوسطه 0 وتباينه 1.
نستخدم جدول Z لإيجاد Φ(z) = P(Z ≤ z) = المساحة يسار z.
مثال: P(Z ≤ 1.5) = 0.93319 من الجدول.

Key Formulas for Z-Table Usage | صيغ مهمة لاستخدام جدول Z

PROBABILITY RULES WITH Z-TABLE

1. P(Z ≤ z) = Φ(z) → Read directly from table
2. P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z) → Complement rule
3. P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁) → Subtract two table values
4. Φ(−z) = 1 − Φ(z) → Symmetry property (for negative z values)

Note: The standard normal table has negative z-values (left half) and positive z-values (right half).

1. P(Z ≤ z) = Φ(z) من الجدول مباشرة
2. P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z) قاعدة المتممة
3. P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁) فرق قيمتين من الجدول
4. Φ(−z) = 1 − Φ(z) خاصية التماثل للقيم السالبة

Example — Using Z-Table | مثال — استخدام جدول Z

STANDARD NORMAL — Z ~ N(0,1)

Find P(Z ≤ 1.5):
→ Look at row 1.5, column 0.00 → Φ(1.5) = 0.93319

Find P(Z ≥ 1.5):
→ 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.93319 = 0.06681

Find P(−1 ≤ Z ≤ 1):
→ Φ(1) − Φ(−1) = 0.84134 − (1 − 0.84134) = 0.84134 − 0.15866 = 0.68268 ≈ 68%
(This confirms the 68% empirical rule!)

Find P(Z ≤ −1.5):
→ Φ(−1.5) = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.93319 = 0.06681

P(Z ≤ 1.5) = 0.93319 مباشرة من الجدول.
P(Z ≥ 1.5) = 1 − 0.93319 = 0.06681.
P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 0.68268 ≈ 68% (يؤكد القاعدة التجريبية).
P(Z ≤ −1.5) = 1 − Φ(1.5) = 0.06681 (خاصية التماثل).

📋 ملخص المحاضرة الحادية عشر

CONTINUOUS RANDOM VARIABLE

P(a≤X≤b) = ∫f(x)dx | ∫₋∞^∞ f(x)dx = 1 | P(X=c) = 0 دايماً

UNIFORM DISTRIBUTION U(a,b)

f(x) = 1/(b−a) | F(x) = (x−a)/(b−a) | μ = (a+b)/2 | σ² = (b−a)²/12

NORMAL DISTRIBUTION N(μ, σ²)

منحنى جرس متماثل حول μ | 68-95-99.7 rule | Total area = 1

STANDARD NORMAL Z ~ N(0,1)

Φ(z) = P(Z≤z) من الجدول | P(Z≥z)=1−Φ(z) | P(z₁≤Z≤z₂)=Φ(z₂)−Φ(z₁) | Φ(−z)=1−Φ(z)

🎯 Quiz — Lecture 11

20 Questions

Q 01 / 20

For a continuous random variable, P(X = c) for any specific value c equals:

💡 EXPLANATION

في التوزيع المستمر: احتمال قيمة محددة = 0 دايماً، لأن المساحة تحت نقطة واحدة = صفر.

Q 02 / 20

Which of the following is TRUE for a continuous probability density function f(x)?

💡 EXPLANATION

الشرط الأساسي: التكامل الكلي لدالة الكثافة = 1، والدالة غير سالبة في كل مكان.

Q 03 / 20

For a continuous variable X, P(a ≤ X ≤ b) equals:

💡 EXPLANATION

الاحتمال = التكامل من a إلى b لدالة الكثافة f(x) — المساحة تحت المنحنى.

Q 04 / 20

X ~ U(2, 8). What is f(x)?

💡 EXPLANATION

f(x) = 1/(b−a) = 1/(8−2) = 1/6 للقيم بين 2 و8.

Q 05 / 20

X ~ U(0, 10). What is the mean μ?

💡 EXPLANATION

μ = (a+b)/2 = (0+10)/2 = 5.

Q 06 / 20

X ~ U(2, 12). What is the variance σ²?

💡 EXPLANATION

σ² = (b−a)²/12 = (12−2)²/12 = 100/12 ≈ 8.33.

Q 07 / 20

X ~ U(0, 4). P(X ≤ 3) =

💡 EXPLANATION

F(3) = (3−0)/(4−0) = 3/4 = 0.75.

Q 08 / 20

X ~ U(0, 10). P(X ≥ 6) =

💡 EXPLANATION

P(X≥6) = 1 − F(6) = 1 − 6/10 = 4/10 = 0.4.

Q 09 / 20

X ~ U(0, 10). P(1 ≤ X ≤ 4) =

💡 EXPLANATION

P(1≤X≤4) = F(4)−F(1) = 4/10 − 1/10 = 3/10 = 0.3.

Q 10 / 20

The Cumulative Distribution Function F(x) for U(a,b) is:

💡 EXPLANATION

F(x) = P(X≤x) = (x−a)/(b−a) للتوزيع المنتظم المستمر.

Q 11 / 20

The normal distribution curve is symmetric about:

💡 EXPLANATION

منحنى التوزيع الطبيعي متماثل حول المتوسط μ دايماً.

Q 12 / 20

In the normal distribution, Mode = Mean = ?

💡 EXPLANATION

في التوزيع الطبيعي: المنوال = الوسط = الوسيط = μ — خاصية التماثل.

Q 13 / 20

The total area under the normal curve equals:

💡 EXPLANATION

المساحة الكلية تحت أي منحنى توزيع احتمالي = 1 دايماً.

Q 14 / 20

The Empirical Rule: P(μ − σ < X < μ + σ) ≈

💡 EXPLANATION

القاعدة التجريبية: ضمن انحراف معياري واحد = 68.26% من البيانات.

Q 15 / 20

The Empirical Rule: P(μ − 2σ < X < μ + 2σ) ≈

💡 EXPLANATION

ضمن انحرافين معياريين = 95.44% من البيانات.

Q 16 / 20

The Standard Normal Distribution Z ~ N(0,1) has:

💡 EXPLANATION

التوزيع الطبيعي المعياري Z: μ=0 وσ²=1 بالتعريف.

Q 17 / 20

Φ(z) represents:

💡 EXPLANATION

Φ(z) = P(Z ≤ z) = المساحة إلى يسار z في التوزيع الطبيعي المعياري.

Q 18 / 20

P(Z ≥ z) in terms of Φ(z) is:

💡 EXPLANATION

P(Z≥z) = 1 − P(Z≤z) = 1 − Φ(z). قاعدة المتممة.

Q 19 / 20

For negative z: Φ(−z) equals:

💡 EXPLANATION

خاصية التماثل: Φ(−z) = 1 − Φ(z). المنحنى متماثل حول الصفر.

Q 20 / 20

P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) is calculated as:

💡 EXPLANATION

P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁) = المساحة بين z₁ و z₂.

🎉

0/20

Arabic explanation shown for each answer above ↑

EXERCISE SHEETS

📝 Sheets — أوراق التمارين (1 · 2 · 3 · 4 · 5)

SHEET 01

Sheet 1 — Sample Spaces & Set Operations | فضاء العينة وعمليات المجموعات

QUESTION 01

Q1. Passing by 3 traffic lights, at each either continue (c) or stop (s). Find the sample space and the event of stopping at the first traffic light.

س١. تمر بـ 3 إشارات مرور، عند كل إشارة إما تكمل (c) أو تقف (s). اوجد فضاء العينة وحدث التوقف عند أول إشارة.

✦ SOLUTION / الحل

Each light has 2 choices (c or s), and there are 3 lights, so total outcomes = 2³ = 8.

Sample Space S:
S = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}

Event A = stopping at the FIRST light (first element = s):
A = {scc, scs, ssc, sss}

كل إشارة لها اختيارين (c أو s)، و3 إشارات → إجمالي النتائج = 2³ = 8.

فضاء العينة S:
S = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}

الحدث A = التوقف عند أول إشارة (أول عنصر = s):
A = {scc, scs, ssc, sss}

QUESTION 02

Q2. Suppose S = {book, cell phone, mp3, paper, stationery, laptop}. Let A = {book, stationery, laptop, paper}. Find the complement of A.

س٢. إذا كان S = {book, cell phone, mp3, paper, stationery, laptop} وA = {book, stationery, laptop, paper}، أوجد مكمل A.

✦ SOLUTION / الحل

Ā = S − A = all elements in S that are NOT in A.
S = {book, cell phone, mp3, paper, stationery, laptop}
A = {book, stationery, laptop, paper}

Ā = {cell phone, mp3}

Ā = S − A = كل العناصر في S التي ليست في A.
بعد الحذف: Ā = {cell phone, mp3}

QUESTION 03

Q3. Let A = {a, b, c} and B = {b, c, d, e}. Find A ∪ B.

س٣. إذا كان A = {a, b, c} و B = {b, c, d, e}، أوجد A ∪ B.

✦ SOLUTION / الحل

Union = all elements in A OR B (no repetition).
A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e}
Common elements (b, c) are written only once.

A ∪ B = {a, b, c, d, e}

الاتحاد = جميع عناصر A أو B بدون تكرار.
العناصر المشتركة (b, c) تُكتب مرة واحدة فقط.
A ∪ B = {a, b, c, d, e}

QUESTION 04

Q4. If M = {x | 3 < x < 9} and N = {y | 5 < y < 12}, Find M ∪ N.

س٤. إذا كان M = {x | 3 < x < 9} و N = {y | 5 < y < 12}، أوجد M ∪ N.

✦ SOLUTION / الحل

M covers (3, 9) and N covers (5, 12). Their union spans from the smaller start to the larger end.
Since M starts at 3 (smaller) and N ends at 12 (larger), and the intervals overlap:

M ∪ N = {x | 3 < x < 12}

M تغطي (3, 9) و N تغطي (5, 12). اتحادهما يمتد من أصغر بداية لأكبر نهاية.
الفترتان تتداخلان، فالاتحاد = {x | 3 < x < 12}

QUESTION 05

Q5. List the elements of each of the following sample spaces:
(a) Integers between 1 and 50 divisible by 8.
(b) S = {x | x² + 4x − 5 = 0}
(c) Outcomes when a coin is tossed until a tail or three heads appear.
(d) S = {x | x is a continent}
(e) S = {r | 2x − 4 ≥ 0 and x < 1}

س٥. اذكر عناصر كل فضاء عينة:
(أ) الأعداد الصحيحة بين 1 و50 القابلة للقسمة على 8.
(ب) S = {x | x² + 4x − 5 = 0}
(ج) نتائج رمي عملة حتى ظهور صورة أو ثلاثة أوجه.
(د) S = {x | x قارة}
(هـ) S = {r | 2x − 4 ≥ 0 and x < 1}

✦ SOLUTION / الحل

(a) Numbers between 1–50 divisible by 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48

S = {8, 16, 24, 32, 40, 48}

(b) Solve x² + 4x − 5 = 0 → (x+5)(x−1) = 0 → x = −5 or x = 1

S = {−5, 1}

(c) Toss until T or HHH:
S = {T, HT, HHT, HHH}
— T on 1st toss; HT on 2nd; HHT on 3rd; HHH on 3rd.

S = {T, HT, HHT, HHH}

(d) 7 continents:

S = {Africa, Antarctica, Asia, Australia, Europe, North America, South America}

(e) 2x − 4 ≥ 0 → x ≥ 2, AND x < 1 → No x can satisfy both simultaneously.

S = Ø (empty set)

(أ) الأعداد من 1 إلى 50 القابلة للقسمة على 8: S = {8, 16, 24, 32, 40, 48}

(ب) حل المعادلة: x² + 4x − 5 = 0 → (x+5)(x−1) = 0 → x = −5 أو x = 1
S = {−5, 1}

(ج) رمي العملة حتى تظهر صورة أو 3 أوجه:
S = {T, HT, HHT, HHH}

(د) القارات السبع:
S = {أفريقيا، أنتاركتيكا، آسيا، أستراليا، أوروبا، أمريكا الشمالية، أمريكا الجنوبية}

(هـ) 2x−4 ≥ 0 يعني x ≥ 2، وx < 1 يعني x أصغر من 1. لا توجد قيمة تحقق الشرطين معاً.
S = Ø (مجموعة خالية)

QUESTIONS 06 – 09 (Multiple Choice)

Q6. When n dice are rolled, the possible outcomes are: (a) 6ⁿ (b) 6 (c) 1 (d) 18
Q7. The term 'sample space' is used for: (a) All possible outcomes (b) All possible coins (c) Probability (d) Sample
Q8. Which is the impossible event when a die is rolled? (a) 2 or 3 (b) 5 or 6 (c) 1 (d) 0 or 7
Q9. Which of the following events are equal?
A={1,3}; B={x|x is a number on a die}; C={x|x²−4x+3=0}; D={x|x=#heads when 6 coins tossed}

س٦. عند رمي n زهرة، عدد النتائج الممكنة هو: (أ) 6ⁿ (ب) 6 (ج) 1 (د) 18
س٧. مصطلح "فضاء العينة" يعني: (أ) كل النتائج الممكنة (ب) كل العملات (ج) الاحتمال (د) العينة
س٨. الحدث المستحيل عند رمي زهرة: (أ) 2 أو 3 (ب) 5 أو 6 (ج) 1 (د) 0 أو 7
س٩. أي الأحداث التالية متساوية؟

✦ SOLUTION / الحل

Q6 → Answer: (a) 6ⁿ
Each die has 6 faces. With n dice, by the multiplication rule: 6 × 6 × ... (n times) = 6ⁿ

Q7 → Answer: (a) All possible outcomes
Sample space = the set of ALL possible outcomes of an experiment.

Q8 → Answer: (d) 0 or 7
A standard die has faces {1,2,3,4,5,6}. Getting 0 or 7 is impossible since neither exists on the die.

Q9 → Answer: A and C are equal
A = {1, 3}
C: solve x²−4x+3=0 → (x−1)(x−3)=0 → x=1 or x=3 → C={1,3}
Therefore A = C = {1, 3}

س٦ → الإجابة: (أ) 6ⁿ
كل زهرة لها 6 وجوه. مع n زهرة بقاعدة الضرب = 6ⁿ

س٧ → الإجابة: (أ) كل النتائج الممكنة
فضاء العينة = مجموعة جميع النتائج الممكنة للتجربة.

س٨ → الإجابة: (د) 0 أو 7
الزهرة لها الأوجه {1,2,3,4,5,6}. الحصول على 0 أو 7 مستحيل.

س٩ → الإجابة: A و C متساويتان
A = {1, 3}، وحل C: x²−4x+3=0 → x=1 أو x=3 → C={1,3}
إذاً A = C = {1, 3}

QUESTION 13

Q13. If S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={0,2,4,6,8}, B={1,3,5,7,9}, C={2,3,4,5}, D={1,6,7}, find:
(a) A∪D (b) A∩B (c) B' (d) (B'∩D)∪A (e) (S∩D)' (f) A∩C∩D'

س١٣. إذا كانت المجموعات كما هو موضح، أوجد: (أ) A∪D (ب) A∩B (ج) B' (د) (B'∩D)∪A (هـ) (S∩D)' (و) A∩C∩D'

✦ SOLUTION / الحل

Given: S={0–9}, A={0,2,4,6,8}, B={1,3,5,7,9}, C={2,3,4,5}, D={1,6,7}

(a) A∪D = all elements in A or D = {0,1,2,4,6,7,8}
(b) A∩B = A is all even, B is all odd → no common elements = Ø
(c) B' = S − B = {0,2,4,6,8} = A
(d) (B'∩D)∪A: B'={0,2,4,6,8}, D={1,6,7} → B'∩D={6} → {6}∪A = {0,2,4,6,8}
(e) (S∩D)': S∩D = D = {1,6,7} → D' = S−D = {0,2,3,4,5,8,9}
(f) A∩C∩D': A∩C = {2,4}, D'={0,2,3,4,5,8,9} → A∩C∩D' = {2,4}

(أ) A∪D = {0,1,2,4,6,7,8}
(ب) A∩B = A أعداد زوجية، B أعداد فردية → لا عناصر مشتركة = Ø
(ج) B' = S − B = {0,2,4,6,8}
(د) (B'∩D)∪A: B'={0,2,4,6,8}، D={1,6,7} → B'∩D={6} → {6}∪A = {0,2,4,6,8}
(هـ) (S∩D)': S∩D=D={1,6,7} → D' = {0,2,3,4,5,8,9}
(و) A∩C∩D': A∩C={2,4}، D'={0,2,3,4,5,8,9} → النتيجة = {2,4}

QUESTION 14

Q14. S={copper, sodium, nitrogen, potassium, uranium, oxygen, zinc}, A={copper,sodium,zinc}, B={sodium,nitrogen,potassium}, C={oxygen}. Find:
(a) B' (b) B∪C (c) (A∩B')∪C (d) A'∩C (e) A∩B∩C (f) (A'∪B')∩(A∩C)

س١٤. المجموعات كما هو موضح. أوجد الطلوب.

✦ SOLUTION / الحل

S = {copper, sodium, nitrogen, potassium, uranium, oxygen, zinc}
A={copper,sodium,zinc}, B={sodium,nitrogen,potassium}, C={oxygen}

(a) B' = S−B = {copper, uranium, oxygen, zinc}
(b) B∪C = {sodium, nitrogen, potassium, oxygen}
(c) (A∩B')∪C: A∩B' = A∩{copper,uranium,oxygen,zinc} = {copper,zinc} → ∪C = {copper, zinc, oxygen}
(d) A'∩C: A'={nitrogen,potassium,uranium,oxygen}, C={oxygen} → A'∩C = {oxygen}
(e) A∩B∩C: A∩B={sodium}, {sodium}∩{oxygen} = Ø
(f) (A'∪B')∩(A∩C): A∩C = {copper,sodium,zinc}∩{oxygen} = Ø → result = Ø

(أ) B' = {copper, uranium, oxygen, zinc}
(ب) B∪C = {sodium, nitrogen, potassium, oxygen}
(ج) (A∩B')∪C: A∩B'={copper,zinc} → مع C → {copper, zinc, oxygen}
(د) A'∩C = {oxygen}
(هـ) A∩B∩C = Ø
(و) (A'∪B')∩(A∩C): A∩C=Ø → النتيجة = Ø

QUESTION 20

Q20. Let A, B and C be three events. Find expressions for:
(a) Both A and B, but not C occur.
(b) None of the three events occur.
(c) At least one of the three events occur.

س٢٠. A و B و C ثلاثة أحداث. اكتب تعبيراً مجموعاتياً لكل مما يلي:
(أ) يحدث كل من A و B ولكن لا يحدث C.
(ب) لا يحدث أي من الأحداث الثلاثة.
(ج) يحدث على الأقل حدث واحد.

✦ SOLUTION / الحل

(a) Both A and B but NOT C:
We need A AND B to occur, but C must NOT occur.

A ∩ B ∩ C'

(b) None of the three events occur:
All three must fail simultaneously.

A' ∩ B' ∩ C' (equivalently: (A ∪ B ∪ C)')

(c) At least one of the three events occurs:
"At least one" = complement of "none occur"

A ∪ B ∪ C (equivalently: 1 − P(A'∩B'∩C'))

(أ) يحدث A و B بدون C:

A ∩ B ∩ C'

(ب) لا يحدث أي من الثلاثة:

A' ∩ B' ∩ C' = (A ∪ B ∪ C)'

(ج) يحدث على الأقل حدث واحد:

A ∪ B ∪ C

QUESTION 10

Q10. A fair coin is tossed 100 times. The expected number of heads is:
(a) 100 (b) 50 (c) 30 (d) 60

س١٠. عملة عادلة رُميت 100 مرة. العدد المتوقع للأوجه هو:
(أ) 100 (ب) 50 (ج) 30 (د) 60

✦ SOLUTION / الحل

Answer: (b) 50
For a fair coin, P(Head) = 1/2. The expected number of heads in n tosses = n × P(Head).

E(Heads) = 100 × (1/2) = 50

الإجابة: (ب) 50
عملة عادلة: P(وجه) = 1/2. العدد المتوقع = n × P(وجه)

E(الأوجه) = 100 × (1/2) = 50

QUESTION 11

Q11. When two dice are rolled, the maximum total on the two faces of the dice will be:
(a) 6 (b) 36 (c) 12 (d) 2

س١١. عند رمي زهرتين، أقصى مجموع على الوجهين يكون:
(أ) 6 (ب) 36 (ج) 12 (د) 2

✦ SOLUTION / الحل

Answer: (c) 12
Each die has faces {1, 2, 3, 4, 5, 6}. The maximum value on each die is 6. Therefore the maximum possible total when both dice show their highest value:

Maximum total = 6 + 6 = 12

Note: 36 is the total number of outcomes in the sample space, not the maximum sum.

الإجابة: (ج) 12
كل زهرة لها الوجوه {1, 2, 3, 4, 5, 6}. أكبر قيمة على كل زهرة = 6. إذاً أكبر مجموع ممكن:

أقصى مجموع = 6 + 6 = 12

ملاحظة: 36 هو إجمالي عدد النتائج في فضاء العينة، وليس أكبر مجموع.

QUESTION 12

Q12. For every event there exists some complementary event.
(a) True (b) False

س١٢. لكل حدث يوجد حدث مكمل.
(أ) صحيح (ب) خطأ

✦ SOLUTION / الحل

Answer: (a) True
For any event A defined on a sample space S, the complement Ā is always defined as the set of all outcomes in S that are not in A. Therefore every event has a complementary event.

Ā = S − A → always exists for any event A ⊆ S

Also: P(A) + P(Ā) = 1 for every event A.

الإجابة: (أ) صحيح
لأي حدث A معرَّف على فضاء عينة S، يكون المكمل Ā دائماً معرَّفاً كمجموعة كل النتائج في S التي ليست في A.

Ā = S − A → موجود دائماً لأي حدث A ⊆ S

أيضاً: P(A) + P(Ā) = 1 لكل حدث A.

QUESTION 15

Q15. A random sample of 200 random digits is selected from a random number table. The expected number of zeros in the sample is:
(a) Zero (b) 10 (c) 20 (d) 5

س١٥. اختيرت عينة عشوائية من 200 رقم عشوائي من جدول أرقام عشوائية. العدد المتوقع من الأصفار في العينة هو:
(أ) صفر (ب) 10 (ج) 20 (د) 5

✦ SOLUTION / الحل

Answer: (c) 20
A random digit table contains digits {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — ten equally likely digits.
P(digit = 0) = 1/10
Expected number of zeros in 200 digits:

E(zeros) = 200 × (1/10) = 20

الإجابة: (ج) 20
جدول الأرقام العشوائية يحتوي على أرقام {0–9} كلها متساوية الاحتمال.
P(الرقم = 0) = 1/10
العدد المتوقع من الأصفار في 200 رقم:

E(الأصفار) = 200 × (1/10) = 20

QUESTION 16

Q16. Two events A and B are called mutually exclusive if:
(a) A∪B = Φ (b) A∩B = Φ (c) A∩B = S (d) A∩B = 1

س١٦. يُقال إن حدثين A و B متنافيان إذا كان:
(أ) A∪B = Φ (ب) A∩B = Φ (ج) A∩B = S (د) A∩B = 1

✦ SOLUTION / الحل

Answer: (b) A∩B = Φ
Two events are mutually exclusive (disjoint) if they cannot occur at the same time — meaning they share NO common outcomes. This is exactly the definition of their intersection being the empty set.

Mutually Exclusive ⟺ A ∩ B = Ø

If A and B are mutually exclusive: P(A∪B) = P(A) + P(B) (no subtraction needed).

الإجابة: (ب) A∩B = Φ
الحدثان متنافيان (Mutually Exclusive) إذا لم يمكنا الحدوث في نفس الوقت، أي لا توجد نتائج مشتركة بينهما.

متنافيان ⟺ A ∩ B = Ø

إذا كانا متنافيين: P(A∪B) = P(A) + P(B) (بدون طرح).

QUESTION 17

Q17. What is the representation of the complementary event of event A?
(a) S − A (b) A − S (c) S (d) S + A

س١٧. ما تمثيل الحدث المكمل للحدث A؟
(أ) S − A (ب) A − S (ج) S (د) S + A

✦ SOLUTION / الحل

Answer: (a) S − A
The complement of A, written Ā or A', consists of all elements in the sample space S that do NOT belong to A.

Ā = S − A = {x ∈ S : x ∉ A}

Option (b) A − S is always empty since A ⊆ S. Options (c) and (d) are incorrect by definition.

الإجابة: (أ) S − A
المكمل Ā يتكوّن من كل العناصر في فضاء العينة S التي لا تنتمي إلى A.

Ā = S − A = {x ∈ S : x ∉ A}

الخيار (ب) A−S دائماً فارغ لأن A ⊆ S. الخياران (ج) و(د) خاطئان بالتعريف.

QUESTION 18

Q18. What is the complementary event for "At least one head appears" if two coins are tossed simultaneously?
(a) Exactly one head appears (b) At least one tail appears
(c) At most one tail appears (d) No head appears

س١٨. ما الحدث المكمل لـ "ظهور وجه على الأقل" عند رمي عملتين معاً؟
(أ) ظهور وجه واحد فقط (ب) ظهور ذيل على الأقل
(ج) ظهور ذيل على الأكثر (د) عدم ظهور أي وجه

✦ SOLUTION / الحل

Answer: (d) No head appears
S = {HH, HT, TH, TT}
Event A = "at least one head" = {HH, HT, TH}
Complement Ā = "NOT at least one head" = "zero heads" = {TT}

Ā = "No head appears" = {TT}

"At least one" and "none" are always complementary to each other.

الإجابة: (د) عدم ظهور أي وجه
S = {HH, HT, TH, TT}
A = "على الأقل وجه واحد" = {HH, HT, TH}
المكمل Ā = "صفر أوجه" = {TT}

Ā = "لا يظهر أي وجه" = {TT}

"على الأقل واحد" و"لا شيء" دائماً حدثان مكملان.

QUESTION 19

Q19. When a die and a coin are rolled together, all possible outcomes are:
(a) 6 (b) 2 (c) 36 (d) 12

س١٩. عند رمي زهرة وعملة معاً، مجموع النتائج الممكنة هو:
(أ) 6 (ب) 2 (ج) 36 (د) 12

✦ SOLUTION / الحل

Answer: (d) 12
Using the multiplication rule:
Die outcomes = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 outcomes
Coin outcomes = {H, T} → 2 outcomes

Total outcomes = 6 × 2 = 12

Sample space: {(1,H),(1,T),(2,H),(2,T),(3,H),(3,T),(4,H),(4,T),(5,H),(5,T),(6,H),(6,T)}

الإجابة: (د) 12
بقاعدة الضرب:
نتائج الزهرة = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 نتائج
نتائج العملة = {H, T} → 2 نتائج

إجمالي النتائج = 6 × 2 = 12

SHEET 02

Sheet 2 — Counting & Probability | تقنيات العد والاحتمال

QUESTION 01

Q1. In a medical study, patients are classified in 8 ways (blood type: AB+, AB−, A+, A−, B+, B−, O+, O−) and also by blood pressure (low, normal, high). Find the number of ways a patient can be classified.

س١. في دراسة طبية، يُصنَّف المرضى بـ 8 طرق حسب فصيلة الدم وبـ 3 طرق حسب ضغط الدم. أوجد عدد طرق تصنيف مريض.

✦ SOLUTION / الحل

Using the multiplication rule: if there are m ways for one choice and n ways for another, total = m × n.

8 blood types × 3 blood pressure levels = 24 ways

بقاعدة الضرب: عدد الطرق = عدد فصائل الدم × عدد مستويات الضغط

8 × 3 = 24 طريقة

QUESTION 02

Q2. If an experiment consists of throwing a die and then drawing a letter at random from the English alphabet, how many points are there in the sample space?

س٢. إذا تكوّن التجربة من رمي زهرة ثم سحب حرف عشوائي من الأبجدية الإنجليزية، كم نقطة في فضاء العينة؟

✦ SOLUTION / الحل

Die has 6 outcomes. English alphabet has 26 letters.

6 × 26 = 156 points in sample space

الزهرة لها 6 نتائج. الأبجدية الإنجليزية = 26 حرفاً.

6 × 26 = 156 نقطة في فضاء العينة

QUESTION 05

Q5. A California study: 7 health rules. In how many ways can a person adopt 5 of these rules:
(a) If they presently violate ALL 7 rules?
(b) If they never drink and always eat breakfast?

س٥. 7 قواعد صحية. كم طريقة يمكن لشخص اتباع 5 قواعد منها:
(أ) إذا كان يخالف كل القواعد السبع؟
(ب) إذا كان لا يشرب الكحول دائماً ويتناول الإفطار دائماً؟

✦ SOLUTION / الحل

(a) Choose 5 from all 7 rules (order doesn't matter = combinations):

C(7,5) = 7! / (5! × 2!) = (7×6) / (2×1) = 21 ways

(b) "Never drinks" and "always eats breakfast" = these 2 rules are already fixed/adopted.
So we must choose 3 more rules from the remaining 5:

C(5,3) = 5! / (3! × 2!) = (5×4) / (2×1) = 10 ways

(أ) اختيار 5 من 7 (الترتيب غير مهم = توافيق):

C(7,5) = 21 طريقة

(ب) قاعدتان محددتان مسبقاً (لا كحول + إفطار)، نختار 3 من المتبقي (5 قواعد):

C(5,3) = 10 طرق

QUESTION 09

Q9. A witness to a hit-and-run accident: license plate had letters RLH followed by 3 digits, first was a 5. Witness cannot recall last 2 digits but is certain all 3 digits are different. Find the maximum number of registrations police may check.

س٩. شاهد على حادث: لوحة السيارة تحمل RLH ثم 3 أرقام، أولها 5. الشاهد لا يتذكر آخر رقمين لكن متأكد أن الأرقام الثلاثة مختلفة. أوجد أقصى عدد من التسجيلات على الشرطة فحصها.

✦ SOLUTION / الحل

Format: RLH − 5 _ _
First digit is fixed = 5.
Second digit: can be any digit from {0,1,2,3,4,6,7,8,9} except 5 → 9 choices.
Third digit: any digit except 5 and the second digit → 8 choices.

1 × 9 × 8 = 72 registrations

الرقم الأول محدد = 5.
الرقم الثاني: أي رقم غير 5 → 9 اختيارات.
الرقم الثالث: أي رقم غير 5 وغير الرقم الثاني → 8 اختيارات.

1 × 9 × 8 = 72 تسجيل

QUESTION 10

Q10. (a) In how many ways can 6 people be lined up to get on a bus?
(b) If 3 specific persons insist on following each other, how many ways?
(c) If 2 specific persons refuse to follow each other, how many ways?

س١٠. (أ) كم طريقة يمكن ترتيب 6 أشخاص للصعود في أتوبيس؟
(ب) إذا أصرّ 3 أشخاص محددون على التتابع معاً؟
(ج) إذا رفض شخصان محددان التتابع معاً؟

✦ SOLUTION / الحل

(a) Total arrangements of 6 distinct people:

6! = 720 ways

(b) Treat the 3 insisting persons as one block → we have (3+1)=4 units to arrange, and the 3 can arrange among themselves in 3! ways:

4! × 3! = 24 × 6 = 144 ways

(c) Total − arrangements where the 2 ARE together:
If the 2 are together: treat them as 1 block → 5 units → 5! × 2! = 240

720 − 240 = 480 ways

(أ) ترتيب 6 أشخاص مختلفين:

6! = 720 طريقة

(ب) الثلاثة كوحدة واحدة → 4 وحدات × ترتيب الثلاثة بينهم:

4! × 3! = 24 × 6 = 144 طريقة

(ج) الكل − عندما يكونان معاً:

720 − (5! × 2!) = 720 − 240 = 480 طريقة

QUESTION 16

Q16. If the probabilities are 0.09, 0.15, 0.21, and 0.23 that a person purchasing a new automobile will choose green, white, red, or blue. What is the probability that a buyer will purchase one in one of those colors?

س١٦. احتمالات اختيار ألوان السيارة: أخضر 0.09، أبيض 0.15، أحمر 0.21، أزرق 0.23. ما احتمال شراء سيارة بأحد هذه الألوان؟

✦ SOLUTION / الحل

Since these are mutually exclusive events, use the addition rule:

P(green ∪ white ∪ red ∪ blue) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68

الأحداث متنافية (مستقلة)، نستخدم قاعدة الجمع:

P = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68

QUESTION 17

Q17. A pair of fair dice is tossed. Find the probability of getting a total of 8.

س١٧. رمي زهرتين عادلتين. أوجد احتمال الحصول على مجموع 8.

✦ SOLUTION / الحل

Total outcomes = 6 × 6 = 36.
Pairs giving sum = 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5 pairs.

P(sum = 8) = 5/36 ≈ 0.1389

مجموع النتائج = 36.
الأزواج التي مجموعها 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5 أزواج.

P(المجموع = 8) = 5/36 ≈ 0.1389

QUESTION 03

Q3. Students at a private liberal arts college are classified as being freshmen, sophomores, juniors, or seniors, and also according to whether they are male or female. Find the total number of possible classifications for the students of that college.

س٣. طلاب كلية يُصنَّفون حسب السنة الدراسية (4 مستويات) وحسب الجنس (ذكر أو أنثى). أوجد إجمالي عدد التصنيفات الممكنة.

✦ SOLUTION / الحل

Using the multiplication rule:
Year levels: {Freshman, Sophomore, Junior, Senior} → 4 choices
Gender: {Male, Female} → 2 choices

Total classifications = 4 × 2 = 8

بقاعدة الضرب:
مستويات السنة الدراسية = 4، الجنس = 2

إجمالي التصنيفات = 4 × 2 = 8

QUESTION 04

Q4. A certain brand of shoes comes in 5 different styles, with each style available in 4 distinct colors. If the store wishes to display pairs of these shoes showing all of its various styles and colors, how many different pairs will the store have on display?

س٤. ماركة أحذية تأتي بـ 5 تصاميم مختلفة، كل تصميم متاح بـ 4 ألوان مختلفة. كم زوجاً مختلفاً ستعرضه المتجر؟

✦ SOLUTION / الحل

Using the multiplication rule:
Styles: 5 choices
Colors per style: 4 choices

Total pairs = 5 × 4 = 20 different pairs

بقاعدة الضرب:
التصاميم = 5، الألوان لكل تصميم = 4

إجمالي الأزواج = 5 × 4 = 20 زوجاً مختلفاً

QUESTION 06

Q6. A drug for the relief of asthma can be purchased from 5 different manufacturers in liquid, tablet, or capsule form, all of which come in regular and extra strength. How many different ways can a doctor prescribe the drug for a patient suffering from asthma?

س٦. دواء للربو متاح من 5 شركات مصنعة، في 3 أشكال (سائل، أقراص، كبسولات)، وكل شكل في قوتين (عادية وقوية). كم طريقة يمكن للطبيب وصف الدواء؟

✦ SOLUTION / الحل

Using the multiplication rule:
Manufacturers: 5
Forms: {liquid, tablet, capsule} → 3
Strength: {regular, extra} → 2

Total ways = 5 × 3 × 2 = 30 different prescriptions

بقاعدة الضرب:
الشركات = 5، الأشكال = 3، القوة = 2

إجمالي الطرق = 5 × 3 × 2 = 30 طريقة

QUESTION 07

Q7. In a fuel economy study, each of 3 race cars is tested using 5 different brands of gasoline at 7 test sites located in different regions. If 2 drivers are used in the study and test runs are made once under each distinct set of conditions, how many test runs are needed?

س٧. في دراسة لاقتصاد الوقود: 3 سيارات، 5 أنواع بنزين، 7 مواقع اختبار، سائقان. كم تجربة تشغيل مطلوبة؟

✦ SOLUTION / الحل

Each test run is defined by a unique combination of: car × gasoline brand × test site × driver.

Total runs = 3 × 5 × 7 × 2 = 210 test runs

كل تجربة = تركيبة فريدة من: سيارة × نوع بنزين × موقع × سائق

إجمالي التجارب = 3 × 5 × 7 × 2 = 210 تجربة

QUESTION 08

Q8. In how many different ways can a true/false test consisting of 9 questions be answered?

س٨. كم طريقة مختلفة يمكن الإجابة على اختبار صح/خطأ مكوّن من 9 أسئلة؟

✦ SOLUTION / الحل

Each question has 2 possible answers (True or False). With 9 independent questions:

Total ways = 2⁹ = 512

كل سؤال له إجابتان (صح أو خطأ). مع 9 أسئلة مستقلة:

إجمالي الطرق = 2⁹ = 512

QUESTION 11

Q11. If a multiple-choice test consists of 5 questions, each with 4 possible answers of which only 1 is correct:
(a) In how many different ways can a student check off one answer to each question?
(b) In how many ways can a student check off one answer to each question and get ALL answers wrong?

س١١. اختبار من 5 أسئلة متعددة الاختيار، لكل سؤال 4 إجابات إجابة واحدة منها صحيحة:
(أ) كم طريقة يمكن للطالب الإجابة على كل الأسئلة؟
(ب) كم طريقة يمكن الإجابة على الكل بشكل خاطئ؟

✦ SOLUTION / الحل

(a) Each of 5 questions has 4 choices:

4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵ = 1024 ways

(b) For each question, "wrong" means choosing from the 3 incorrect answers:

3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁵ = 243 ways

(أ) كل سؤال من 5 له 4 اختيارات:

4⁵ = 1024 طريقة

(ب) لكل سؤال، "خطأ" يعني الاختيار من 3 إجابات غير صحيحة:

3⁵ = 243 طريقة

QUESTION 12

Q12. (a) How many distinct permutations can be made from the letters of the word COLUMNS?
(b) How many of these permutations start with the letter M?

س١٢. (أ) كم ترتيباً مختلفاً يمكن عمله من حروف كلمة COLUMNS؟
(ب) كم منها يبدأ بحرف M؟

✦ SOLUTION / الحل

COLUMNS has 7 letters: C, O, L, U, M, N, S — all distinct (no repeated letters).

(a) Total permutations of 7 distinct letters:

7! = 5040 permutations

(b) Fix M in the first position → arrange the remaining 6 letters:

6! = 720 permutations starting with M

COLUMNS = 7 حروف مختلفة: C, O, L, U, M, N, S (لا تكرار).

(أ) إجمالي تباديل 7 حروف مختلفة:

7! = 5040 تبديل

(ب) نثبّت M في المكان الأول → نرتّب باقي 6 حروف:

6! = 720 تبديل تبدأ بـ M

QUESTION 13

Q13. A contractor wishes to build 9 houses, each different in design. In how many ways can he place these houses on a street if 6 lots are on one side of the street and 3 lots are on the opposite side?

س١٣. مقاول يريد بناء 9 منازل مختلفة في التصميم. كم طريقة يمكنه ترتيبها في شارع إذا كان أحد الجانبين به 6 قطع أرض والجانب الآخر 3 قطع؟

✦ SOLUTION / الحل

We need to assign 9 distinct houses to 9 distinct lots (6 on one side + 3 on the other).
This is simply a permutation of all 9 houses in all 9 positions:

9! = 362,880 ways

Alternatively: Choose 6 houses for the first side (P(9,6) ways), then arrange remaining 3 on the other side (3! ways):
P(9,6) × 3! = (9!/3!) × 3! = 9! = 362,880 ✓

نوزّع 9 منازل مختلفة على 9 قطع أرض مختلفة (6 + 3).
هذا تبديل لكل 9 منازل في 9 مواضع:

9! = 362,880 طريقة

QUESTION 14

Q14. (a) How many three-digit numbers can be formed from the digits (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) if each digit can be used only once?
(b) How many of these are odd numbers?
(c) How many are greater than 330?

س١٤. (أ) كم عدداً من ثلاثة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) إذا استُخدم كل رقم مرة واحدة فقط؟
(ب) كم منها أعداد فردية؟
(ج) كم منها أكبر من 330؟

✦ SOLUTION / الحل

Available digits: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} — 7 digits. First digit ≠ 0 (no leading zero).

(a) Total 3-digit numbers:
Hundreds digit: 6 choices (1–6, not 0)
Tens digit: 6 choices (0–6 minus the used digit)
Units digit: 5 choices

Total = 6 × 6 × 5 = 180 three-digit numbers

(b) Odd numbers (units digit ∈ {1, 3, 5}):
Case 1: Units = odd non-zero (3 choices), Hundreds ≠ 0 and ≠ units (5 choices), Tens = remaining 5 digits:

3 × 5 × 5 = 75 odd numbers

(c) Numbers greater than 330:
Numbers with hundreds digit ≥ 4: hundreds ∈ {4,5,6} → 3 × 6 × 5 = 90
Numbers starting with 3: need rest > 30, i.e. tens ≥ 4 (using digits 0–6 except 3):
— Tens ∈ {4,5,6}: 3 choices, units: 5 remaining choices → 3 × 5 = 15
— Tens = 3: impossible (3 already used as hundreds)
Total starting with 3 and > 330: 15

Numbers > 330 = 90 + 15 = 105

الأرقام المتاحة: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} — 7 أرقام. الرقم الأول ≠ 0.

(أ) إجمالي الأعداد الثلاثية الأرقام:
خانة المئات = 6 اختيارات (1–6)، خانة العشرات = 6، خانة الآحاد = 5

الإجمالي = 6 × 6 × 5 = 180 عدداً

(ب) الأعداد الفردية (آحاد ∈ {1, 3, 5}):

3 × 5 × 5 = 75 عدداً فردياً

(ج) الأعداد الأكبر من 330:
المئات ≥ 4 → 3 × 6 × 5 = 90
تبدأ بـ 3 وأكبر من 330 (العشرات ≥ 4) → 3 × 5 = 15

الأعداد > 330 = 90 + 15 = 105

QUESTION 15

Q15. In how many ways can 4 boys and 5 girls sit in a row if the boys and girls must alternate?

س١٥. كم طريقة يمكن لـ 4 أولاد و5 بنات الجلوس في صف إذا كان يجب التناوب بين الأولاد والبنات؟

✦ SOLUTION / الحل

Total seats = 9. If boys and girls alternate and girls (5) outnumber boys (4), the only valid arrangement is:
G B G B G B G B G (girls in odd positions 1,3,5,7,9 — boys in even positions 2,4,6,8)

Arrange 5 girls in 5 odd seats: 5! ways
Arrange 4 boys in 4 even seats: 4! ways

Total = 5! × 4! = 120 × 24 = 2880 ways

مجموع المقاعد = 9. البنات (5) أكثر من الأولاد (4)، الترتيب الوحيد الممكن:
ب ذ ب ذ ب ذ ب ذ ب (بنات في المواضع الفردية، أولاد في الزوجية)

ترتيب 5 بنات في 5 مواضع فردية = 5! طريقة
ترتيب 4 أولاد في 4 مواضع زوجية = 4! طريقة

الإجمالي = 5! × 4! = 120 × 24 = 2880 طريقة

QUESTION 18

Q18. According to Consumer Digest, the probable location of personal computers (PC) in the home is:
Adult bedroom: 0.03 | Child bedroom: 0.15 | Other bedroom: 0.14 | Office or study: 0.40 | Other rooms: 0.28
(a) What is the probability that a PC is in a bedroom?
(b) What is the probability that it is NOT in a bedroom?

س١٨. احتمالات وجود الحاسب الشخصي في المنزل كما يلي:
غرفة نوم بالغين: 0.03 | غرفة نوم أطفال: 0.15 | غرفة نوم أخرى: 0.14 | مكتب: 0.40 | غرف أخرى: 0.28
(أ) ما احتمال وجود الحاسب في غرفة نوم؟
(ب) ما احتمال عدم وجوده في غرفة نوم؟

✦ SOLUTION / الحل

"Bedroom" includes: adult bedroom, child bedroom, and other bedroom.

(a) P(PC in a bedroom):

P(bedroom) = 0.03 + 0.15 + 0.14 = 0.32

(b) P(PC NOT in a bedroom):

P(not bedroom) = 1 − 0.32 = 0.68

Verification: 0.40 + 0.28 = 0.68 ✓ (office + other rooms)

"غرفة النوم" تشمل: غرفة نوم البالغين، الأطفال، وغيرها.

(أ) P(الحاسب في غرفة نوم):

P = 0.03 + 0.15 + 0.14 = 0.32

(ب) P(الحاسب ليس في غرفة نوم):

P = 1 − 0.32 = 0.68

تحقق: 0.40 + 0.28 = 0.68 ✓

SHEET 03

Sheet 3 — Conditional Probability & Independence | الاحتمال الشرطي والاستقلالية

QUESTION 01

Q1. Textile strips can be defective in two ways: length (L) and texture (T). Known: P(L) = 10%, P(T) = 5%, P(L∩T) = 0.8%. If a strip fails the length test, what is the probability that it is also texture defective?

س١. قطاعات قماش قد تكون معيبة بطريقتين: طول (L) وملمس (T). معلوم: P(L)=10%، P(T)=5%، P(L∩T)=0.8%. إذا فشلت القطعة في اختبار الطول، ما احتمال أن تكون معيبة أيضاً في الملمس؟

✦ SOLUTION / الحل

This is a conditional probability problem: P(T | L) = P(T∩L) / P(L)
Given: P(L) = 0.10, P(L∩T) = 0.008

P(T | L) = P(L∩T) / P(L) = 0.008 / 0.10 = 0.08 = 8%

Answer: There is an 8% probability that a strip failing the length test is also texture defective.

هذا احتمال شرطي: P(T | L) = P(T∩L) / P(L)
المعطيات: P(L) = 0.10، P(L∩T) = 0.008

P(T | L) = 0.008 / 0.10 = 0.08 = 8%

الإجابة: احتمال أن تكون معيبة في الملمس شرط فشلها في الطول = 8%

QUESTION 02

Q2. An electrical system has 4 components. Works if A AND B work AND (C OR D) works. Reliabilities: P(A)=0.9, P(B)=0.9, P(C)=0.8, P(D)=0.8. Assume independence.
(a) Find P(entire system works).
(b) Find P(C does not work | entire system works).

س٢. نظام كهربائي من 4 مكونات. يعمل إذا عمل A و B و (C أو D). الموثوقيات: P(A)=0.9، P(B)=0.9، P(C)=0.8، P(D)=0.8. المكونات مستقلة.
(أ) أوجد احتمال عمل النظام بالكامل.
(ب) أوجد احتمال عدم عمل C شرط عمل النظام.

✦ SOLUTION / الحل

Part (a):
P(C or D works) = 1 − P(C fails AND D fails) = 1 − (1−0.8)(1−0.8) = 1 − (0.2)(0.2) = 1 − 0.04 = 0.96

P(system works) = P(A) × P(B) × P(C or D)

P(system) = 0.9 × 0.9 × 0.96 = 0.7776

Part (b): P(C' | system works)
System works with C' (C fails) means: A works, B works, D works (since C failed, D must work).
P(system works AND C fails) = P(A)×P(B)×P(C')×P(D) = 0.9×0.9×0.2×0.8 = 0.1296

P(C' | system works) = 0.1296 / 0.7776 = 0.1667 ≈ 1/6

الجزء (أ):
P(C أو D يعمل) = 1 − (0.2)(0.2) = 1 − 0.04 = 0.96
P(النظام يعمل) = P(A) × P(B) × P(C أو D)

= 0.9 × 0.9 × 0.96 = 0.7776

الجزء (ب): P(C لا يعمل | النظام يعمل)
P(النظام يعمل و C لا يعمل) = 0.9 × 0.9 × 0.2 × 0.8 = 0.1296

P(C' | System) = 0.1296 / 0.7776 ≈ 0.1667

QUESTION 03

Q3. 200 adults classified by sex and education:
Elementary: Male=38, Female=45 | Secondary: Male=28, Female=50 | College: Male=22, Female=17
A person is picked at random. Find:
(a) P(Male | Secondary education)
(b) P(Not college degree | Female)

س٣. 200 بالغ مصنَّفون حسب الجنس والتعليم (كما موضح). اختير شخص عشوائياً. أوجد:
(أ) P(ذكر | تعليم ثانوي)
(ب) P(ليس خريج كلية | أنثى)

✦ SOLUTION / الحل

Total = 200. Totals by row: Elementary=83, Secondary=78, College=39
Total Female = 45+50+17 = 112, Total Male = 38+28+22 = 88

(a) P(Male | Secondary):
In secondary group: 28 males, 50 females → total secondary = 78

P(Male | Secondary) = 28/78 = 14/39 ≈ 0.3590

(b) P(Not college | Female):
Females not in college = Elementary females + Secondary females = 45 + 50 = 95
Total females = 112

P(Not college | Female) = 95/112 ≈ 0.8482

المجاميع: ابتدائي=83، ثانوي=78، جامعي=39
إجمالي الإناث = 45+50+17 = 112

(أ) P(ذكر | ثانوي):
في المجموعة الثانوية: 28 ذكر، 78 إجمالي

P = 28/78 = 14/39 ≈ 0.359

(ب) P(ليس جامعي | أنثى):
الإناث غير الجامعيات = 45 + 50 = 95، من أصل 112 أنثى

P = 95/112 ≈ 0.8482

QUESTION 04

Q4. Toss one die and one coin simultaneously. Find the probability of appearing a head AND an even number.

س٤. رمي زهرة وعملة في نفس الوقت. أوجد احتمال ظهور صورة (head) ورقم زوجي.

✦ SOLUTION / الحل

Total outcomes: die has 6, coin has 2 → total = 12.
Favorable: head (H) on coin AND even number (2, 4, 6) on die = 3 outcomes: (H,2), (H,4), (H,6)
Since die and coin are independent:

P(Head AND Even) = P(Head) × P(Even) = (1/2) × (3/6) = (1/2) × (1/2) = 1/4

مجموع النتائج = 6 × 2 = 12.
النتائج المواتية: (H,2), (H,4), (H,6) → 3 نتائج.
لأن الزهرة والعملة مستقلتان:

P = P(H) × P(زوجي) = (1/2) × (1/2) = 1/4

QUESTION 07

Q7. A and B are two independent events. P(A) = 0.2, P(A∩B) = 0.06. Find:
(a) P(A|B) (b) P(B|A)

س٧. A و B حدثان مستقلان. P(A)=0.2، P(A∩B)=0.06. أوجد: (أ) P(A|B) (ب) P(B|A)

✦ SOLUTION / الحل

Since A and B are independent: P(A∩B) = P(A) × P(B)
→ P(B) = P(A∩B) / P(A) = 0.06 / 0.2 = 0.3

(a) P(A|B): For independent events, P(A|B) = P(A) (since B gives no information about A):

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.06 / 0.3 = 0.2 = P(A) ✓

(b) P(B|A):

P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = 0.06 / 0.2 = 0.3 = P(B) ✓

This confirms independence: conditional probability = unconditional probability.

لأن A و B مستقلان: P(A∩B) = P(A) × P(B)
→ P(B) = 0.06 / 0.2 = 0.3

(أ) P(A|B):

P(A|B) = 0.06 / 0.3 = 0.2 = P(A)

(ب) P(B|A):

P(B|A) = 0.06 / 0.2 = 0.3 = P(B)

هذا يؤكد الاستقلالية: الاحتمال الشرطي = الاحتمال غير الشرطي.

QUESTION 08

Q8. In a certain college: 25% travel to America (A), 15% travel to England (E), 10% travel to both. A student is selected at random.
(a) P(America | travels to England)
(b) P(England | travels to America)
(c) P(America or England)
(d) P(neither America nor England)

س٨. في كلية: 25% يسافرون لأمريكا، 15% لإنجلترا، 10% لكليهما. اختير طالب عشوائياً. أوجد: (أ–د)

✦ SOLUTION / الحل

P(A)=0.25, P(E)=0.15, P(A∩E)=0.10

(a) P(A|E) = P(A∩E)/P(E) = 0.10/0.15

P(A|E) = 2/3 ≈ 0.6667

(b) P(E|A) = P(A∩E)/P(A) = 0.10/0.25

P(E|A) = 0.40

(c) P(A∪E) = P(A)+P(E)−P(A∩E) = 0.25+0.15−0.10

P(A∪E) = 0.30

(d) P(neither) = 1 − P(A∪E) = 1 − 0.30

P(A'∩E') = 0.70

P(A)=0.25، P(E)=0.15، P(A∩E)=0.10

(أ) P(A|E) = 0.10/0.15

= 2/3 ≈ 0.6667

(ب) P(E|A) = 0.10/0.25

= 0.40

(ج) P(A∪E) = 0.25+0.15−0.10

= 0.30

(د) P(لا هذا ولا ذاك) = 1 − 0.30

= 0.70

QUESTION 10

Q10. A family has 3 children. What is the probability that all are boys, given that at least one is a boy?

س١٠. عائلة لها 3 أطفال. ما احتمال أن يكونوا جميعاً أولاداً، شرط أن يكون على الأقل أحدهم ولداً؟

✦ SOLUTION / الحل

Sample space S = {BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG} → 8 outcomes
Let A = "all boys" = {BBB}
Let B = "at least one boy" = S − {GGG} → 7 outcomes
A∩B = {BBB}

P(all boys | at least one boy) = P(A∩B)/P(B) = (1/8)/(7/8) = 1/7 ≈ 0.1429

فضاء العينة = 8 نتائج.
A = "كلهم أولاد" = {BBB}
B = "على الأقل ولد واحد" = 7 نتائج (كل شيء إلا {GGG})

P(A|B) = (1/8) / (7/8) = 1/7 ≈ 0.1429

QUESTION 11

Q11. Three designers A, B, C work independently on a problem. P(A solves) = 2/3, P(B solves) = 3/4, P(C solves) = 4/5. Find the probability that the problem will be solved.

س١١. ثلاثة مصممون A و B و C يعملون بشكل مستقل. P(A يحل) = 2/3، P(B يحل) = 3/4، P(C يحل) = 4/5. أوجد احتمال حل المسألة.

✦ SOLUTION / الحل

P(problem solved) = 1 − P(none of them solves it)
P(A fails) = 1 − 2/3 = 1/3
P(B fails) = 1 − 3/4 = 1/4
P(C fails) = 1 − 4/5 = 1/5

Since they are independent:
P(none solve) = (1/3) × (1/4) × (1/5) = 1/60

P(problem solved) = 1 − 1/60 = 59/60 ≈ 0.9833

P(المسألة تُحل) = 1 − P(لا أحد يحلها)
P(A يفشل) = 1/3، P(B يفشل) = 1/4، P(C يفشل) = 1/5
لأنهم مستقلون: P(لا أحد يحل) = (1/3)(1/4)(1/5) = 1/60

P(المسألة تُحل) = 1 − 1/60 = 59/60 ≈ 0.9833

QUESTION 05

Q5. A circuit system is given in the following figure. The top path has components with reliabilities 0.9 and 0.8. The bottom path has three components with reliabilities 0.9, 0.9, and 0.8. The two paths are connected in parallel. Assume the components fail independently. What is the probability that the entire system works?

س٥. نظام دائرة كهربائية: المسار العلوي يحتوي على مكونين موثوقيتهما 0.9 و0.8. المسار السفلي يحتوي على ثلاثة مكونات موثوقيتها 0.9 و0.9 و0.8. المسارات متوازية. المكونات تتعطل بشكل مستقل. ما احتمال عمل النظام بالكامل؟

✦ SOLUTION / الحل

Top path (series): Both components must work.
P(Top works) = 0.9 × 0.8 = 0.72

Bottom path (series): All three components must work.
P(Bottom works) = 0.9 × 0.9 × 0.8 = 0.648

Parallel system: System works if at least one path works.
P(system fails) = P(Top fails) × P(Bottom fails) = (1 − 0.72) × (1 − 0.648)
= 0.28 × 0.352 = 0.09856

P(system works) = 1 − 0.09856 = 0.90144 ≈ 0.9014

المسار العلوي (تسلسل): كلا المكونين يجب أن يعملا.
P(العلوي يعمل) = 0.9 × 0.8 = 0.72

المسار السفلي (تسلسل): الثلاثة مكونات يجب أن تعمل.
P(السفلي يعمل) = 0.9 × 0.9 × 0.8 = 0.648

نظام متوازي: النظام يعمل إذا عمل مسار واحد على الأقل.
P(النظام يتعطل) = (1 − 0.72) × (1 − 0.648) = 0.28 × 0.352 = 0.09856

P(النظام يعمل) = 1 − 0.09856 ≈ 0.9014

QUESTION 06

Q6. Toss 3 coins and 2 dice. Find the probability of appearing 3 heads AND a sum of dots equal to 12.

س٦. رمي 3 عملات وزهرتين. أوجد احتمال ظهور 3 أوجه ومجموع النقاط = 12.

✦ SOLUTION / الحل

The coins and dice are independent, so we multiply probabilities.

P(3 heads from 3 coins):
Each coin: P(H) = 1/2. All three heads:

P(HHH) = (1/2)³ = 1/8

P(sum of 2 dice = 12):
Total outcomes for 2 dice = 36.
Only one way to get sum 12: (6, 6).

P(sum = 12) = 1/36

Combined probability (independent events):

P(3H AND sum=12) = (1/8) × (1/36) = 1/288

العملات والزهرتان مستقلتان، نضرب الاحتمالات.

P(3 أوجه من 3 عملات):

P(HHH) = (1/2)³ = 1/8

P(مجموع الزهرتين = 12):
إجمالي نتائج الزهرتين = 36. طريقة واحدة فقط للحصول على 12: (6, 6).

P(مجموع = 12) = 1/36

الاحتمال المشترك (أحداث مستقلة):

P(3 أوجه ومجموع=12) = (1/8) × (1/36) = 1/288

QUESTION 09

Q9. A fair 4-sided die is rolled twice. Find the probability that the maximum of the two numbers is 3, given that the minimum of the two numbers is 1.

س٩. زهرة رباعية الأوجه عادلة رُميت مرتين. أوجد احتمال أن يكون أكبر العددين 3، شرط أن يكون أصغر العددين 1.

✦ SOLUTION / الحل

A 4-sided die has faces {1, 2, 3, 4}. Total outcomes when rolled twice = 4 × 4 = 16.

Let A = "maximum = 3" and B = "minimum = 1". We need P(A | B).

Event B (minimum = 1): At least one die shows 1, and no outcome is below 1 (trivially true). The pairs where min = 1 are all pairs containing at least one 1:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1) → 7 outcomes

Event A∩B (max = 3 AND min = 1): One die = 1, other die = 3, or one = 3, other = 1. No die can exceed 3 (otherwise max > 3). Pairs: (1,3) and (3,1) → 2 outcomes

P(A | B) = P(A∩B) / P(B) = (2/16) / (7/16) = 2/7

زهرة رباعية الأوجه: {1, 2, 3, 4}. إجمالي النتائج = 4 × 4 = 16.

A = "الأكبر = 3"، B = "الأصغر = 1". نريد P(A | B).

الحدث B (الأصغر = 1): الأزواج التي تحتوي على 1 على الأقل:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1) → 7 نتائج

A∩B (الأكبر=3 والأصغر=1): إحدى الزهرتين = 1 والأخرى = 3:
(1,3) و (3,1) → 2 نتائج

P(A | B) = (2/16) / (7/16) = 2/7

SHEET 04

Sheet 4 — Bayes' Theorem & Random Variables | نظرية بايز والمتغيرات العشوائية

QUESTION 01

Q1. Given three coins: one has heads on both faces (HH), the second has tails on both faces (TT), and the third has a head on one face and a tail on the other (HT). We choose a coin at random, toss it, and it comes up heads. What is the probability that the opposite face is tails?

س١. ثلاث عملات: الأولى وجهاها أوجه (HH)، الثانية وجهاها أذناب (TT)، الثالثة وجه وذيل (HT). اخترنا عملة عشوائياً ورميناها، ظهر وجه (H). ما احتمال أن الوجه الخلفي ذيل؟

✦ SOLUTION / الحل — Bayes' Theorem

We need: P(HT coin was chosen | Head appeared).

The 3 coins each chosen with probability 1/3. The possible "head" outcomes are:
— Face 1 of HH coin → opposite is H (not T)
— Face 2 of HH coin → opposite is H (not T)
— Face 1 of HT coin → opposite is T ✓
(TT coin can never show H, so eliminated)

There are 3 equally likely ways to get a Head (from HH's 2 faces + HT's 1 face).
Only 1 of those gives tails on the opposite face (the HT coin).

P(opposite is T | H appeared) = 1/3

نحتاج: P(اخترنا عملة HT | ظهر وجه H)

الطرق الممكنة للحصول على H:
— الوجه 1 من HH → الخلفي H
— الوجه 2 من HH → الخلفي H
— الوجه 1 من HT → الخلفي T ✓
(TT لا تُعطي H أبداً)

من 3 طرق متساوية للحصول على H، واحدة فقط تعطي T في الخلف.

P(الخلفي T | ظهر H) = 1/3

QUESTION 02

Q2. Bag A contains 3 red and 4 green balls. Bag B contains 4 red and 5 green balls. One ball is drawn at random from one of the bags and found to be red. What is the probability that it was drawn from Bag A?

س٢. كيس A: 3 حمراء + 4 خضراء. كيس B: 4 حمراء + 5 خضراء. سُحبت كرة عشوائياً من أحد الكيسين وكانت حمراء. ما احتمال أنها سُحبت من الكيس A؟

✦ SOLUTION / الحل — Bayes' Theorem

Let: P(A) = 1/2, P(B) = 1/2 (equally likely to choose either bag)
P(Red | A) = 3/7, P(Red | B) = 4/9

Total P(Red) by law of total probability:
P(Red) = P(A)×P(R|A) + P(B)×P(R|B) = (1/2)(3/7) + (1/2)(4/9)
= 3/14 + 4/18 = 3/14 + 2/9
= 27/126 + 28/126 = 55/126

By Bayes' theorem:

P(A | Red) = P(A)×P(R|A) / P(Red) = (1/2)(3/7) / (55/126) = (3/14) / (55/126)

= (3/14) × (126/55) = 378/770 = 27/55 ≈ 0.4909

P(A)=1/2، P(B)=1/2، P(حمراء|A)=3/7، P(حمراء|B)=4/9

قاعدة الاحتمال الكلي:
P(حمراء) = (1/2)(3/7) + (1/2)(4/9) = 3/14 + 2/9 = 27/126 + 28/126 = 55/126

بنظرية بايز:

P(A|حمراء) = (3/14) / (55/126) = 27/55 ≈ 0.4909

QUESTION 03

Q3. A man speaks the truth 3 out of 4 times. He throws a die and reports that it is a six. Find the probability that it actually is a six.

س٣. رجل يقول الحقيقة 3 من 4 مرات. رمى زهرة وقال إنها 6. أوجد احتمال أنها فعلاً 6.

✦ SOLUTION / الحل — Bayes' Theorem

Let S6 = "actually a six", S6' = "not a six"
P(S6) = 1/6, P(S6') = 5/6
P(says 6 | it IS 6) = 3/4 (truth)
P(says 6 | it is NOT 6) = 1/4 (lie)

P(says "six") = P(S6)×P(says 6|S6) + P(S6')×P(says 6|S6')
= (1/6)(3/4) + (5/6)(1/4) = 3/24 + 5/24 = 8/24 = 1/3

By Bayes':

P(S6 | says "six") = (1/6)(3/4) / (1/3) = (3/24) / (8/24) = 3/8

P(فعلاً 6) = 1/6، P(ليس 6) = 5/6
P(يقول 6 | فعلاً 6) = 3/4، P(يقول 6 | ليس 6) = 1/4

P(يقول "6") = (1/6)(3/4) + (5/6)(1/4) = 3/24 + 5/24 = 8/24 = 1/3

بنظرية بايز:

P(فعلاً 6 | قال "6") = (3/24) / (8/24) = 3/8

QUESTION 04

Q4. Let W be a random variable giving the number of heads minus the number of tails in three tosses of a coin. List the elements of sample space S for the three tosses and assign a value w of W to each sample point.

س٤. W = عدد الأوجه ناقص عدد الأذناب في رمي عملة 3 مرات. اذكر عناصر فضاء العينة وعيّن قيمة w لكل نقطة.

✦ SOLUTION / الحل

Sample space S (8 outcomes): each outcome → W = #H − #T

Outcome	Heads	Tails	W = H−T
HHH	3	0	3
HHT	2	1	1
HTH	2	1	1
THH	2	1	1
HTT	1	2	−1
THT	1	2	−1
TTH	1	2	−1
TTT	0	3	−3

Range of W = {−3, −1, 1, 3}

فضاء العينة له 8 نتائج: كل نتيجة → W = عدد الأوجه − عدد الأذناب

HHH→W=3، HHT/HTH/THH→W=1، HTT/THT/TTH→W=−1، TTT→W=−3

نطاق W = {−3, −1, 1, 3}

QUESTION 05

Q5. A lot of 7 components: 4 good, 3 defective. A sample of 3 is taken. Find the standard deviation of the number of good components in the sample.

س٥. مجموعة من 7 مكونات: 4 جيدة و3 معيبة. أُخذت عينة من 3 مكونات. أوجد الانحراف المعياري لعدد المكونات الجيدة في العينة.

✦ SOLUTION / الحل — Hypergeometric Distribution

This is a hypergeometric distribution: N=7, K=4 (good), n=3 (sample).
X = number of good components in the sample.

P(X=x) = C(4,x) × C(3,3−x) / C(7,3)
C(7,3) = 35

P(X=0) = C(4,0)×C(3,3)/35 = 1×1/35 = 1/35
P(X=1) = C(4,1)×C(3,2)/35 = 4×3/35 = 12/35
P(X=2) = C(4,2)×C(3,1)/35 = 6×3/35 = 18/35
P(X=3) = C(4,3)×C(3,0)/35 = 4×1/35 = 4/35

E(X) = 0(1/35)+1(12/35)+2(18/35)+3(4/35) = (0+12+36+12)/35 = 60/35 = 12/7

E(X²) = 0(1/35)+1(12/35)+4(18/35)+9(4/35) = (0+12+72+36)/35 = 120/35 = 24/7

Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = 24/7 − (12/7)² = 24/7 − 144/49 = 168/49 − 144/49 = 24/49

σ = √(24/49) = √24 / 7 = 2√6 / 7 ≈ 0.6999 ≈ 0.70

توزيع هيبرجيومتري: N=7، K=4 (جيدة)، n=3 (العينة)

C(7,3) = 35
P(X=0)=1/35، P(X=1)=12/35، P(X=2)=18/35، P(X=3)=4/35

E(X) = (0+12+36+12)/35 = 60/35 = 12/7
E(X²) = (0+12+72+36)/35 = 120/35 = 24/7
Var(X) = 24/7 − (12/7)² = 24/49

σ = √(24/49) = 2√6/7 ≈ 0.70

QUESTION 06

Q6. Determine the value c so that each function can serve as a probability distribution:
(a) f(x) = c(x² + 4), for x = 0, 1, 2
(b) f(x) = c·C(3,x)·C(3,3−x), for x = 0, 1, 2

س٦. أوجد قيمة c بحيث تكون كل دالة توزيع احتمالي صحيحاً:
(أ) f(x) = c(x² + 4)، لـ x = 0, 1, 2
(ب) f(x) = c·C(3,x)·C(3,3−x)، لـ x = 0, 1, 2

✦ SOLUTION / الحل

For a valid PMF: Σ f(x) = 1

(a) Σ c(x²+4) = 1
f(0) = c(0+4) = 4c
f(1) = c(1+4) = 5c
f(2) = c(4+4) = 8c
Total: 4c + 5c + 8c = 17c = 1

c = 1/17

(b) Σ c·C(3,x)·C(3,3−x) = 1
f(0) = c·C(3,0)·C(3,3) = c·1·1 = c
f(1) = c·C(3,1)·C(3,2) = c·3·3 = 9c
f(2) = c·C(3,2)·C(3,1) = c·3·3 = 9c
Total: c + 9c + 9c = 19c = 1

c = 1/19

الشرط: Σ f(x) = 1

(أ)
f(0)=4c، f(1)=5c، f(2)=8c
4c + 5c + 8c = 17c = 1

c = 1/17

(ب)
f(0)=c، f(1)=9c، f(2)=9c
c + 9c + 9c = 19c = 1

c = 1/19

QUESTION 07

Q7. X is a random variable with mean 6 and variance 100. Y = 3X + 6. Evaluate the mean and variance of Y.

س٧. X متغير عشوائي بمتوسط 6 وتباين 100. Y = 3X + 6. أوجد متوسط Y وتباينه.

✦ SOLUTION / الحل

Given: E(X) = 6, Var(X) = 100, Y = 3X + 6

Rules for linear transformations:
E(aX + b) = a·E(X) + b
Var(aX + b) = a²·Var(X)

Mean of Y:

E(Y) = E(3X+6) = 3·E(X) + 6 = 3(6) + 6 = 18 + 6 = 24

Variance of Y:

Var(Y) = Var(3X+6) = 3²·Var(X) = 9 × 100 = 900

Standard deviation of Y = √900 = 30

المعطيات: E(X)=6، Var(X)=100، Y=3X+6

قواعد التحويل الخطي:
E(aX+b) = a·E(X)+b، Var(aX+b) = a²·Var(X)

متوسط Y:

E(Y) = 3×6 + 6 = 18 + 6 = 24

تباين Y:

Var(Y) = 3² × 100 = 9 × 100 = 900

الانحراف المعياري لـ Y = √900 = 30

SHEET 05

Sheet 5 — Random Variables: PMF, PDF & Expectation | المتغيرات العشوائية: دوال الكتلة والكثافة والتوقع

QUESTION 01

Q1. A sample of 3 cans is selected at random from a box containing 12 cans of which 3 are defective. Find the expected number of defective cans.

س١. سُحبت عينة من 3 علب عشوائياً من صندوق يحتوي 12 علبة، منها 3 معيبة. أوجد العدد المتوقع للعلب المعيبة.

✦ SOLUTION / الحل — Hypergeometric / Expected Value

This is a hypergeometric setup.
Total cans = 12, defective = 3, non-defective = 9, sample size n = 3.

Let X = number of defective cans in the sample.
For a hypergeometric distribution: E(X) = n × K/N
where N = population size, K = number of "successes" in population, n = sample size.

E(X) = 3 × (3/12) = 3 × (1/4) = 3/4 = 0.75

The expected number of defective cans in the sample is 0.75.

توزيع هيبرجيومتري: N=12 (الإجمالي)، K=3 (معيبة)، n=3 (حجم العينة).
ليكن X = عدد العلب المعيبة في العينة.
للتوزيع الهيبرجيومتري: E(X) = n × K/N

E(X) = 3 × (3/12) = 3 × (1/4) = 3/4 = 0.75

العدد المتوقع للعلب المعيبة = 0.75

QUESTION 02

Q2. The probability function of a continuous random variable is:

f(x) = x           0 ≤ x ≤ 1
f(x) = k − x     1 < x < 2
f(x) = 0           otherwise

Find: (a) k (b) CDF (c) P(0.3 ≤ x ≤ 1.5) (d) P(x ≤ 0.3) (e) P(x ≥ 1.5) (f) E(X) (g) V(X) (h) σ

س٢. دالة احتمال متغير عشوائي مستمر:
f(x) = x للـ 0≤x≤1، f(x) = k−x للـ 1<x<2، f(x) = 0 غير ذلك

أوجد: (أ) قيمة k (ب) دالة التوزيع التراكمي (ج) P(0.3≤x≤1.5) (د) P(x≤0.3) (هـ) P(x≥1.5) (و) E(X) (ز) V(X) (ح) σ

✦ SOLUTION / الحل — Continuous PDF

(a) Finding k: Total area under f(x) must equal 1.
∫₀¹ x dx + ∫₁² (k−x) dx = 1
[x²/2]₀¹ + [kx − x²/2]₁² = 1
1/2 + [(2k−2) − (k−1/2)] = 1
1/2 + [k − 3/2] = 1 → k − 1 = 1 →

k = 2

(b) CDF F(x):
— For 0 ≤ x ≤ 1: F(x) = ∫₀ˣ t dt = x²/2
— For 1 < x < 2: F(x) = 1/2 + ∫₁ˣ (2−t) dt = 1/2 + [2t−t²/2]₁ˣ = 1/2 + (2x−x²/2) − (2−1/2) = 2x − x²/2 − 3/2
— For x ≥ 2: F(x) = 1

F(x) = { x²/2 (0≤x≤1) | 2x−x²/2−3/2 (1<x<2) | 1 (x≥2) }

(c) P(0.3 ≤ x ≤ 1.5):
= F(1.5) − F(0.3)
F(1.5) = 2(1.5) − (1.5)²/2 − 3/2 = 3 − 1.125 − 1.5 = 0.375
F(0.3) = (0.3)²/2 = 0.09/2 = 0.045

P(0.3 ≤ x ≤ 1.5) = 0.375 − 0.045 = 0.33

(d) P(x ≤ 0.3):

P(x ≤ 0.3) = F(0.3) = (0.3)²/2 = 0.045

(e) P(x ≥ 1.5):

P(x ≥ 1.5) = 1 − F(1.5) = 1 − 0.375 = 0.625

(f) E(X):
E(X) = ∫₀¹ x·x dx + ∫₁² x(2−x) dx
= [x³/3]₀¹ + [x²−x³/3]₁²
= 1/3 + [(4−8/3) − (1−1/3)]
= 1/3 + [4/3 − 2/3] = 1/3 + 2/3

E(X) = 1

(g) V(X) = E(X²) − [E(X)]²:
E(X²) = ∫₀¹ x²·x dx + ∫₁² x²(2−x) dx
= [x⁴/4]₀¹ + [2x³/3 − x⁴/4]₁²
= 1/4 + [(16/3−4) − (2/3−1/4)]
= 1/4 + [4/3 − 5/12] = 1/4 + 1/4 + 5/12 ...
= 1/4 + [16/12 − 5/12] = 1/4 + 11/12 = 3/12 + 11/12 = 14/12 = 7/6

V(X) = 7/6 − 1² = 7/6 − 1 = 1/6 ≈ 0.1667

(h) σ:

σ = √V(X) = √(1/6) = 1/√6 ≈ 0.4082

(أ) إيجاد k: المساحة الكلية تحت f(x) = 1
∫₀¹ x dx + ∫₁² (k−x) dx = 1 → 1/2 + (k−3/2) = 1

k = 2

(ب) دالة التوزيع التراكمي:
F(x) = x²/2 للـ (0≤x≤1)
F(x) = 2x − x²/2 − 3/2 للـ (1<x<2)
F(x) = 1 للـ (x≥2)

F(x) = { x²/2 | 2x−x²/2−3/2 | 1 }

(ج) F(1.5)=0.375، F(0.3)=0.045

P(0.3≤x≤1.5) = 0.375 − 0.045 = 0.33

(د)

P(x≤0.3) = 0.045

(هـ)

P(x≥1.5) = 1 − 0.375 = 0.625

(و)

E(X) = 1/3 + 2/3 = 1

(ز) E(X²) = 7/6

V(X) = 7/6 − 1 = 1/6 ≈ 0.1667

(ح)

σ = √(1/6) ≈ 0.4082

QUESTION 03

Q3. Show that f(x) is a probability mass function:
f(x) = (1/6)x if x = 1, 2, 3 | 0 otherwise

س٣. أثبت أن f(x) دالة كتلة احتمالية:
f(x) = (1/6)x عند x = 1, 2, 3 | 0 غير ذلك

✦ SOLUTION / الحل — PMF Verification

To be a valid PMF, two conditions must hold:
1) f(x) ≥ 0 for all x 2) Σ f(x) = 1

Condition 1: f(1)=1/6 > 0, f(2)=2/6 > 0, f(3)=3/6 > 0 ✓

Condition 2:

Σ f(x) = f(1)+f(2)+f(3) = 1/6 + 2/6 + 3/6 = 6/6 = 1 ✓

Both conditions satisfied → f(x) is a valid PMF.

لإثبات أن f(x) دالة كتلة احتمالية، يجب التحقق من:
① f(x) ≥ 0 لكل x ② Σ f(x) = 1

① f(1)=1/6>0، f(2)=2/6>0، f(3)=3/6>0 ✓
②

f(1)+f(2)+f(3) = 1/6+2/6+3/6 = 6/6 = 1 ✓

الشرطان محققان ← f(x) دالة كتلة احتمالية صحيحة.

QUESTION 04

Q4. Show that f(x) is a probability mass function:
f(x) = (1/30)x² if x = 1, 2, 3, 4 | 0 otherwise

س٤. أثبت أن f(x) دالة كتلة احتمالية:
f(x) = (1/30)x² عند x = 1, 2, 3, 4 | 0 غير ذلك

✦ SOLUTION / الحل — PMF Verification

Condition 1 (non-negativity): x² ≥ 0 for all x, so f(x) ≥ 0 ✓

Condition 2 (sum = 1):
f(1) = 1/30, f(2) = 4/30, f(3) = 9/30, f(4) = 16/30

Σ f(x) = (1+4+9+16)/30 = 30/30 = 1 ✓

Both conditions satisfied → f(x) is a valid PMF.

① عدم السلبية: x² ≥ 0 دائماً، إذن f(x) ≥ 0 ✓

② مجموع الاحتمالات:
f(1)=1/30، f(2)=4/30، f(3)=9/30، f(4)=16/30

(1+4+9+16)/30 = 30/30 = 1 ✓

الشرطان محققان ← f(x) دالة كتلة احتمالية صحيحة.

QUESTION 05

Q5. Find the value of k where:
f(x) = k(5x + 2) if x = 1, 2, 3 | 0 otherwise

س٥. أوجد قيمة k حيث:
f(x) = k(5x+2) عند x = 1, 2, 3 | 0 غير ذلك

✦ SOLUTION / الحل — Finding k

For f(x) to be a valid PMF: Σ f(x) = 1

f(1) = k(5×1+2) = 7k
f(2) = k(5×2+2) = 12k
f(3) = k(5×3+2) = 17k

Sum: 7k + 12k + 17k = 1

36k = 1 → k = 1/36

لكي تكون f(x) دالة كتلة صحيحة: Σ f(x) = 1

f(1) = k(5+2) = 7k
f(2) = k(10+2) = 12k
f(3) = k(15+2) = 17k

المجموع: 7k + 12k + 17k = 1

36k = 1 → k = 1/36

QUESTION 06

Q6. Given the joint probability function f_xy(x,y):

X	Y	f_xy(x,y)
1	1	1/4
1.5	2	1/8
1.5	3	1/4
2.5	4	1/4
3	5	1/8

Find: (a) P(x < 2.5, y < 3) (b) P(x < 2.5) (c) E(x) (d) V(x) (e) E(y) (f) V(y)

س٦. بالجدول المشترك f_xy(x,y) الموضح. أوجد:
(أ) P(x<2.5, y<3) (ب) P(x<2.5) (ج) E(x) (د) V(x) (هـ) E(y) (و) V(y)

✦ SOLUTION / الحل — Joint Distribution

(a) P(x < 2.5, y < 3):
Pairs with x<2.5 AND y<3: (1,1) and (1.5,2)

P = 1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

(b) P(x < 2.5):
Pairs with x<2.5: (1,1), (1.5,2), (1.5,3)

P = 1/4 + 1/8 + 1/4 = 2/8 + 1/8 + 2/8 = 5/8 = 0.625

(c) E(X):
Marginal probabilities of X:
P(X=1) = 1/4, P(X=1.5) = 1/8+1/4 = 3/8, P(X=2.5) = 1/4, P(X=3) = 1/8

E(X) = 1(1/4) + 1.5(3/8) + 2.5(1/4) + 3(1/8)

= 0.25 + 0.5625 + 0.625 + 0.375 = 1.8125

(d) V(X) = E(X²) − [E(X)]²:
E(X²) = 1²(1/4) + 1.5²(3/8) + 2.5²(1/4) + 3²(1/8)
= 0.25 + 0.84375 + 1.5625 + 1.125 = 3.78125

V(X) = 3.78125 − (1.8125)² = 3.78125 − 3.285156 = 0.4961

(e) E(Y):
P(Y=1)=1/4, P(Y=2)=1/8, P(Y=3)=1/4, P(Y=4)=1/4, P(Y=5)=1/8

E(Y) = 1(1/4)+2(1/8)+3(1/4)+4(1/4)+5(1/8)

= 0.25+0.25+0.75+1+0.625 = 2.875

(f) V(Y) = E(Y²) − [E(Y)]²:
E(Y²) = 1(1/4)+4(1/8)+9(1/4)+16(1/4)+25(1/8)
= 0.25+0.5+2.25+4+3.125 = 10.125

V(Y) = 10.125 − (2.875)² = 10.125 − 8.265625 = 1.859

(أ) P(x<2.5, y<3): الأزواج: (1,1) و (1.5,2)

P = 1/4+1/8 = 3/8 = 0.375

(ب) P(x<2.5): الأزواج: (1,1)، (1.5,2)، (1.5,3)

P = 1/4+1/8+1/4 = 5/8 = 0.625

(ج) E(X): P(X=1)=1/4، P(X=1.5)=3/8، P(X=2.5)=1/4، P(X=3)=1/8

E(X) = 1(1/4)+1.5(3/8)+2.5(1/4)+3(1/8) = 1.8125

(د) V(X): E(X²) = 3.78125

V(X) = 3.78125 − (1.8125)² = 0.4961

(هـ) E(Y):

E(Y) = 1(1/4)+2(1/8)+3(1/4)+4(1/4)+5(1/8) = 2.875

(و) V(Y): E(Y²) = 10.125

V(Y) = 10.125 − (2.875)² = 1.859

STEP	FORM	PK	ACTION	بالعربي
0	Before	None	Multi-valued cells for VISIT_DATE & PROCEDURE	خانات بأكتر من قيمة
1	1NF	(PET_ID, VISIT_DATE, PROCEDURE)	One value per cell, add composite PK	قيمة واحدة لكل خانة + مفتاح مركّب
2	2NF	Table1: (PET_ID) · Table2: (PET_ID, VISIT_DATE, PROC)	Remove partial deps: PET_NAME, PET_TYPE, PET_AGE, OWNER depend only on PET_ID	إزالة التبعية الجزئية — تقسيم لجدولين
3	3NF	Add Procedure table (PK: PROCEDURE_CODE)	Remove transitive: PROCEDURE_DESC depends on PROCEDURE_CODE not on PET_ID	إزالة التبعية المتعدية — جدول ثالث للـ Procedure

JOIN Type	Description	بالعربي
INNER JOIN	Returns rows where matching values exist in both tables	بس الصفوف اللي عندها تطابق في الجدولين
LEFT JOIN	Returns ALL rows from left table + matching rows from right table (NULL if no match)	كل صفوف الجدول الأيسر + التطابق من الأيمن
RIGHT JOIN	Returns ALL rows from right table + matching rows from left table (NULL if no match)	كل صفوف الجدول الأيمن + التطابق من الأيسر
FULL JOIN	Returns ALL rows from both tables with NULLs where there is no match	كل صفوف الجدولين — NULL لو مفيش تطابق

النوع / Type	الاستخدام / Use	الميزة / Feature
🚀 Supercomputer	الطقس، الفضاء، الذكاء الاصطناعي Weather, Space, AI research	الأقوى على الإطلاق Most powerful ever
🏢 Mainframe	البنوك، الحكومات، الطيران Banks, governments, airlines	معالجة ملايين المعاملات Millions of transactions
🖧 Midrange (Server)	الشركات المتوسطة Medium-sized companies	بين الكبيرة والشخصية Between mainframe and PC
💻 Personal (PC)	الاستخدام اليومي Daily personal use	الأكثر انتشاراً Most widespread

التقنية / Technology	النوع / Type	أين تعمل؟	مثال / Example
HTML	لغة إنشاء المواقع Website creation language	Front-end	تحديد مكان العناوين والصور Defining headings & images
CSS	لغة تنسيق المواقع Website styling language	Front-end	الخطوط والألوان والتصميم Fonts, colors & design
JavaScript	لغة تفاعلية Interactive language	Front-end	تغيير لون زر الإعجاب Changing like button color
PHP	لغة خادم Server-side language	Back-end	التحقق من البريد الإلكتروني Email verification

المعيار / Standard	الاستخدام / Used By	الميزة / Feature
🔵 ASCII American Standard Code for Information Interchange	الحاسبات الشخصية Personal Computers	المعيار الأقدم والأوسع انتشاراً Oldest, most widespread
🟡 EBCDIC Extended Binary Coded Decimal Interchange Code	الحاسبات المركزية (Mainframe) Mainframe Computers	يُستخدم في البيئات الكبيرة Used in large enterprise environments
🟢 Unicode	جميع أنظمة الحاسب Virtually all computer systems	يستخدم 16 بت — يدعم كل لغات العالم Uses 16 bits — supports all world languages including Arabic

Normal Form	Requirements	Problem Eliminated	بالعربي
1NF	Atomic values + PK + Row order irrelevant	Multi-valued attributes	قيمة واحدة في كل خانة
2NF	In 1NF + No partial dependency	Partial functional dependency	كل عمود يعتمد على المفتاح الكامل
3NF	In 2NF + No transitive dependency	Transitive functional dependency	مفيش تبعية غير مباشرة A→B→C
4NF	In 3NF + No multi-valued dependency	Multi-valued dependency (MVD)	مفيش تبعية متعددة القيم A →→ B

الوحدة / Unit	السرعة / Speed
Microsecond	جزء من المليون من الثانية / Millionth of a second
Nanosecond	جزء من المليار من الثانية / Billionth of a second
Picosecond	جزء من التريليون من الثانية / Trillionth of a second
Femtosecond	جزء من الكوادريليون / Quadrillionth of a second

الصيغة / Format	السعة / Capacity	الوصف / Description
CD	700 MB	المعيار القديم / Once the standard optical disc
DVD	4.7 GB	المعيار الحالي / Current Standard
BD (Blu-ray)	50 GB	دقة عالية وسعة كبيرة / Hi-def format, large capacity
ROM	—	للقراءة فقط / Cannot be written to or erased
R (Recordable)	—	يمكن الكتابة عليه / Can be written to once
RW / RAM	—	يُمحى ويُعاد كتابته / Can be written and erased

النوع	الكلمة المفتاحية	الحجم	المدى / Range
حرف	char	1 byte	-128 ... 127
صحيح	int	2 bytes	-2,147,483,648 ... 2,147,438,647
صحيح طويل	long	4 bytes	-2,147,483,648 ... 2,147,438,647
عشري	float	4 bytes	1.2E-38 ... 3.4E38
عشري مزدوج	double	8 bytes	2.2E-308 ... 1.8E308
منطقي	bool	1 byte	true / false

Equivalence	Name \| الاسم
p ∧ T ≡ p · p ∨ F ≡ p	Identity Laws — قوانين الهوية
p ∨ T ≡ T · p ∧ F ≡ F	Domination Laws — قوانين السيادة
p ∨ p ≡ p · p ∧ p ≡ p	Idempotent Laws — قوانين التكرار
¬(¬p) ≡ p	Double Negation — النفي المزدوج
p ∨ q ≡ q ∨ p · p ∧ q ≡ q ∧ p	Commutative Laws — قوانين التبادل
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)	Associative Laws — قوانين التجميع
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)	Distributive Laws — قوانين التوزيع
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q · ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q	De Morgan's Laws — قوانين ديمورغان
p ∨ (p ∧ q) ≡ p · p ∧ (p ∨ q) ≡ p	Absorption Laws — قوانين الامتصاص
p ∨ ¬p ≡ T · p ∧ ¬p ≡ F	Negation Laws — قوانين النفي
p → q ≡ ¬p ∨ q	Implication Equivalence
p → q ≡ ¬q → ¬p	Contrapositive — النقيض

Identity	Name \| الاسم
A ∩ U = A · A ∪ ∅ = A	Identity Laws — قوانين الهوية
A ∪ U = U · A ∩ ∅ = ∅	Domination Laws — قوانين السيادة
A ∪ A = A · A ∩ A = A	Idempotent Laws — قوانين التكرار
(Ā̄) = A	Complementation — التكميل المزدوج
A ∪ B = B ∪ A · A ∩ B = B ∩ A	Commutative — التبادل
(A∪B)∪C = A∪(B∪C)	Associative — التجميع
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)	Distributive — التوزيع
(A∩B)̄ = Ā∪B̄ · (A∪B)̄ = Ā∩B̄	De Morgan's — ديمورغان
A∪(A∩B) = A · A∩(A∪B) = A	Absorption — الامتصاص
A∪Ā = U · A∩Ā = ∅	Complement — المتممة

Complexity	Terminology	المصطلح
O(1)	Constant	ثابت
O(log n)	Logarithmic	لوغاريتمي
O(n)	Linear	خطي
O(n log n)	Linearithmic	خطي-لوغاريتمي
O(n²)	Polynomial (Quadratic)	تربيعي
O(2ⁿ)	Exponential	أسّي
O(n!)	Factorial	مضروبي

p	q	r	p→q	q→r	p→r	(p→q)∧(q→r)	→(p→r)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	F	F	T
T	F	T	F	T	T	F	T
T	F	F	F	T	F	F	T
F	T	T	T	T	T	T	T
F	T	F	T	F	T	F	T
F	F	T	T	T	T	T	T
F	F	F	T	T	T	T	T

p	q	r	p→q	q→r	p→r	(p→q)∧(q→r)	→(p→r)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	F	F	T
T	F	T	F	T	T	F	T
T	F	F	F	T	F	F	T
F	T	T	T	T	T	T	T
F	T	F	T	F	T	F	T
F	F	T	T	T	T	T	T
F	F	F	T	T	T	T	T

Artificial Intelligence

An Introduction to Artificial Intelligence مقدمة في الذكاء الاصطناعي

Alan Turing (1950)

John McCarthy (1956)

Marvin Minsky

4 Main Approaches

آلان تورينج (1950)

جون مكارثي (1956)

مارفن مينسكي

٤ مناهج رئيسية

ANI — Narrow AI

AGI — General AI

ASI — Super AI

Supporting fields

ANI — الذكاء الضيق

AGI — الذكاء العام

ASI — الذكاء الخارق

المجالات الداعمة

ملخص المحاضرة الأولى — للمذاكرة الجادة

Intelligent Agents & Task Environments الوكلاء الأذكياء وبيئات المهام

Human Agent

Robotic Agent

Software Agent

Cycle

الوكيل البشري

الوكيل الروبوتي

الوكيل البرمجي

دورة الوكيل

Observable ↔ Partial

Deterministic ↔ Stochastic

Episodic ↔ Sequential

Static ↔ Dynamic

Discrete ↔ Continuous

Single ↔ Multi-Agent

مرئية ↔ جزئية

حتمية ↔ عشوائية

متقطعة ↔ متسلسلة

ثابتة ↔ ديناميكية

منفصلة ↔ مستمرة

وكيل ↔ متعدد

ملخص المحاضرة الثانية

Agent Types & Problem Solving أنواع الوكلاء وحل المشكلات

1. Simple Reflex

2. Model-Based Reflex

3. Goal-Based

4. Utility-Based

١. المنعكس البسيط

٢. القائم على النموذج

٣. القائم على الهدف

٤. القائم على المنفعة

ملخص المحاضرة الثالثة

Problem Formulation & Search Strategies صياغة المشاكل واستراتيجيات البحث

1. Initial State

2. Actions

3. Transition Model

4. Goal Test

5. Path Cost

Examples

١. الحالة الابتدائية

٢. الأفعال

٣. نموذج الانتقال

٤. اختبار الهدف

٥. تكلفة المسار

أمثلة

ملخص المحاضرة الرابعة

Uninformed Search Algorithms خوارزميات البحث غير الموجّه — BFS · UCS · DFS · DLS · IDS · BS

ملخص المحاضرة ٥–٦ (BFS & UCS)

ملخص المحاضرة ٧–٨ (DFS, DLS, IDS, BS)

Informed Search — البحث الموجّه Heuristics · Greedy Search · A* Search · Admissibility · Dominance

ملخص المحاضرة السابعة — Lecture 7 Summary

Basics of Database — أساسيات قواعد البيانات

1. Data — البيانات

2. Information — المعلومات

3. What is a Database? — ما هي قاعدة البيانات؟

4. Components of Database System — مكونات نظام قاعدة البيانات

5. Types of Database Users — أنواع مستخدمي قاعدة البيانات

End User / Naive User — المستخدم النهائي

Application Programmer — مبرمج التطبيقات

Database Designer — مصمم قاعدة البيانات

Database Administrator (DBA) — مدير قاعدة البيانات

p	q	r	p→q	q→r	p→r	(p→q)∧(q→r)	→(p→r)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	F	F	T
T	F	T	F	T	T	F	T
T	F	F	F	T	F	F	T
F	T	T	T	T	T	T	T
F	T	F	T	F	T	F	T
F	F	T	T	T	T	T	T
F	F	F	T	T	T	T	T